[논문 리뷰] Existence of solutions to fractional differential equations with three-point boundary conditions at resonance with general conditions

Bin‐Bin He|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 09.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이전 연구에서 사용된 제약 조건 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ 및 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$를 필요로 하지 않고, 힐버트 공간에서 분수형 3점 경계값 문제의 해가 존재함을 입증한다. 일반화된 역행렬과 일치도 이론을 활용하여, 임의의 유한차원 핵을 가진 무한차원 공간으로 이전 결과를 확장한 채, 일반 조건 하에서 최소한 하나의 해가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

This paper presents a new technique to investigate the existence of solutions to fractional three-point boundary value problems at resonance in a Hilbert space. Based on the proposed method, the restricted conditions $A^2ξ^{2α-2}=Aξ^{α-1}$ and $A^2ξ^{2α-2}=I$ on the operator $A$, which have been used in \cite{Zhou2}, are removed. It is shown that the system under consideration admits at least one solution by applying coincidence degree theory. Finally, an illustrative example is presented.

연구 동기 및 목표

• 핵 차원이 임의일 때 무한차원 공간에서 분수형 3점 경계값 문제의 해가 존재하는 데 대한 기존 결과의 격차를 메우기 위해.
• 이전 연구에서 사용된 연산자 $A$에 대한 제약 조건 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ 및 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$를 제거하기 위해.
• $l^2$에서 분수형 미분방정식의 3점 경계조건을 갖는 공진 문제에 대해 일치도 이론의 적용 범위를 넓히기 위해.
• 분수형 및 고전적 2차 미분계열의 공진 문제에 모두 적용 가능한 일반적인 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 무한차원 공간에서 유계선형 연산자의 일반화된 역행렬을 사용하여 필요한 투사 연산자를 구성한다.
• 메빈의 일치도 이론을 적용하여 공진의 맥락에서 해의 존재성을 분석한다.
• 모어-펜로즈 일반화된 역행렬을 통해 새로운 투사 연산자 $Q$를 도입하며, 사영성 또는 항등 조건에 의존하지 않는다.
• $\mathcal{M}^{+}\mathcal{M} = I - \mathcal{M}\mathcal{M}^{+}$ 성질을 활용하여 공간을 분해하고 투사자 $Q$를 정의한다.
• 특히 네미츠키 연산자의 컴팩턴스와 연산자 $L$의 프레드홀름 성질을 검증함으로써 일치도 정리의 조건을 충족시켜 해의 존재성을 입증한다.
• 벡터 $e = (0,0,\sigma_1,0,0,\sigma_2,\dots)^T$를 사용하여 내적 $\langle e, QN(e t^{1/2}) \rangle > 0$를 통해 해의 비퇴화성을 시험한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 조건 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ 또는 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$를 가정하지 않고도 분수형 3점 경계값 문제의 해 존재성을 입증할 수 있는가?
• RQ2 핵 차원이 임의의 유한차원일 때 $l^2$에서 공진 문제에 대해 일치도 이론을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 일반화된 역행렬이 사영성 또는 항등 조건이 필요한 투사자 $Q$를 구성하는 데 있어 이를 대체할 수 있는가?
• RQ4 핵 차원이 1 또는 2로 제한되지 않을 때 최소한 하나의 해가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = A\tilde{\theta}^{\tilde{\theta}-1}$ 또는 $A^2 \tilde{\theta}^{2\tilde{\theta}-2} = I$와 같은 제약 조건 없이 $l^2$에서 분수형 3점 경계값 문제의 해가 존재함을 증명한다.
• $\alpha = 1/2$, $\xi = 1/4$, 행렬 $B$로 정의된 $A$의 예시는 조건 (A1)과 (A2)를 충족하지 않음을 보여주며, 새로운 방법의 일반성을 확인한다.
• 내적 $\langle e, QN(et^{1/2}) \rangle > 0$는 엄밀히 양수이며, 일치도 정리의 존재 조건을 검증한다.
• 해는 핵 차원이 1 또는 2로 제한되지 않고 임의의 양의 정수일 때에도 존재한다.
• 이전의 $\mathbb{R}^n$에서의 2차 미분계열에 대한 존재 정리 결과를 분수형 및 무한차원 설정으로 일반화한다.
• 이 방법은 $D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}}x(t) = f(t,x(t),D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}-1}x(t))$ 이며 $x(0) = \theta$, $D_{0^{+}}^{\tilde{\theta}-1}x(1) = A D_{0^{\tilde{\theta}-1}}x(\xi)$를 만족하는 다른 공진 문제로도 확장 가능하다.