[논문 리뷰] Existence of tracial states on reduced group C*-algebras

Brian Forrest, Nico Spronk외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 16.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 국소 콪그룹의 축소된 군 C*-대수에서 추적 상태의 존재에 대한 필수 및 필요조건을 확립한다. 특히 컴팩트 생성군—특히 거의 연결되거나 핵심적인 군—의 경우, 추적 상태가 존재함과 동시에 군이 아메니타리일 때만 존재함을 증명하며, 이는 작도 대수학 분야의 핵심 질문을 해결하고, 아메니타리 추적과 텐서곱 쌍대성의 새로운 증명을 통해 ng의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. It is not always the case that its reduced C*-algebra $C^*_r(G)$ admits a tracial state. We exhibit closely related necessary and sufficient conditions for the existence of such. We gain a complete answer when $G$ compactly generated. In particular for $G$ almost connected, or more generally when $C^*_r(G)$ is nuclear, the existence of a trace is equivalent to amenability. We exhibit two examples of classes of totally disconnected groups for which $C^*_r(G)$ does not admit a tracial state.

연구 동기 및 목표

• 국소 콩그룹 G의 축소 C*-대수 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$에서 추적 상태의 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 질문 1.1에서 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$가 추적 상태를 가질 수 있는 조건, 특히 컴팩트 생성 및 거의 연결 군의 경우를 해결하는 것.
• 핵심적인 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$의 경우, 추적 상태의 존재가 군 G의 아메니타리와 동치임을 보이며, ng의 결과를 새로운 증명으로 확장하는 것.
• 축소된 군 C*-대수에서 추적 상태가 존재하지 않는 두 가지 유형의 완전히 이산 군의 예를 제시하여 군의 구조가 추적 상태 존재에 미치는 영향을 부각하는 것.

제안 방법

• 축소된 푸리에-스틸티지 대수 $\mathrm{B}_{r}(G)$와 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)^{*}$ 사이의 쌍대성 관계를 이용하여, 공액에 관해 불변인 정부호 함수로 추적 상태를 식별한다.
• 최소 텐서곱 $\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{A}^{\mathrm{op}}$로의 사상 $a \otimes b^{\mathrm{op}} \mapsto \tau(ab)$의 확장을 통해 아메니타리 추적의 개념을 적용한다.
• GNS 구성과 $\mathcal{A}_{1}/\mathcal{N}$의 힐베르트 공간 완비화를 활용하여 추적 상태를 표현 공간 위의 벡터 상태로 실현한다.
• 역동형 $f \mapsto \tilde{f}$를 통한 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$의 대칭성을 활용하여, $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$를 그 반대 대수와 연결한다.
• 제한 정리와 펠의 유도의 연속성 정리를 적용하여, N 이 아메니타리일 경우 $\mathrm{A}(G/N)$을 $\mathrm{B}_{r}(G)$에 매립한다.
• D \cong G 이면 $1 \in \mathrm{B}_{r}(D)$ 이다. 이는 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G \times G)$ 위의 상태 존재로부터 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 콩그룹 G의 축소 C*-대수 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$가 추적 상태를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 G 가 컴팩트 생성 또는 핵심일 경우, $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$에서 추적 상태의 존재가 아메니타리와 동치인가?
• RQ3 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$가 추적 상태를 가지지 않는 완전히 이산 군의 클래스를 특성화할 수 있는가?
• RQ4 아메니타리 추적의 존재는 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$와 군 G의 구조와 어떤 관련이 있는가?
• RQ5 $\mathrm{B}_{r}(G)$인 축소된 푸리에-스틸티지 대수는 추적 상태 탐지에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 컴팩트 생성 군의 경우, $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$에서 추적 상태의 존재는 군 G의 아메니타리와 동치이다.
• 거의 연결 군이거나 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$가 핵심일 경우, $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$에서 추적 상태의 존재는 군 G의 아메니타리와 동치이며, 핵심 경우에 대한 추측을 확인한다.
• 논문은 ng의 결과에 대한 새로운 증명을 제공한다: 국소 콩그룹 G가 아메니타리일 필요와 충분 조건은 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$가 핵심이면서 추적 상태를 가진다.
• 논문은 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$가 추적 상태를 가지지 않는 두 가지 유형의 완전히 이산 군의 클래스를 구성한다. 예를 들어 $n \geq 2$ 일 때 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q}_p)$는 유형 I이자 핵심이지만 비아메니타리이므로 추적 상태가 존재하지 않는다.
• 만약 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$가 아메니타리 추적 상태를 가진다면, G는 반드시 아메니타리여야 한다는 것이 입증된다. 이는 $1$ 이 $\mathrm{B}_{r}(G \times G)|_D$에 매립됨을 통해 유도된다.
• 이 결과는 $\mathbb{Q}_p$ 위의 대수적 선형군, 예를 들어 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q}_p)$로까지 확장되며, 이들은 컴팩트 생성이자 핵심이지만 비아메니타리이므로 추적 상태가 존재하지 않는다.