[논문 리뷰] Existence Results for the Continuous and Discontinuous Galerkin Time Stepping Methods for Nonlinear Initial Value Problems

Bärbel Holm, Thomas P. Wihler|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 21.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 11인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴 공간 내 비선형 초기값 문제에 대한 연속적이고 비연속적인 갈레르킨 시간 이산화에 대해 비선형성에 연속성 조건만을 가정할 때 일반적인 존재성 및 유일성 결과를 수립한다. 핵심 기여는 다항식 근사 차수에 의존하지 않고도 이산 해가 존재하도록 보장하는 것으로, 국소 시간 스텝이 충분히 작을 경우에만 의존한다.

ABSTRACT

We consider continuous and discontinuous Galerkin time stepping methods of arbitrary order as applied to nonlinear initial value problems in real Hilbert spaces. Our only assumption is that the nonlinearities are continuous; in particular, we include the case of unbounded nonlinear operators. Specifically, we develop new techniques to prove general Peano-type existence results for discrete solutions. In particular, our results show that the existence of solutions is independent of the local approximation order, and only requires the local time steps to be sufficiently small (independent of the polynomial degree). The uniqueness of (local) solutions is addressed as well. In addition, our theory is applied to finite time blow-up problems with nonlinearities of algebraic growth. For such problems we develop an adaptive time step algorithm for the purpose of numerically computing the blow-up time, and provide a convergence result.

연구 동기 및 목표

• 비선형 초기값 문제에 대한 고차수 연속적이고 비연속적인 갈레르킨 시간 이산화의 해의 존재성과 유일성을 수립하기.
• 비선형 연산자가 리프시츠 또는 유계성 조건을 만족하지 않을 경우에도 해의 존재성이 시간 스텝 크기와 다항식 차수에 어떻게 의존하는지 분석하기.
• 대수적 성장 비선형성을 가진 문제에서 폭발 시간을 계산하기 위한 적응형 시간 스텝 알고리즘 개발하기.
• 유한 시간 폭발 문제에 적용된 적응형 알고리즘의 수렴 보장을 제공하기.

제안 방법

• 실 힐버트 공간 내 이산 갈레르킨 해에 대한 페아노 유형 존재성 결과를 증명하기 위해 새로운 분석 기법을 적용한다.
• 비선형성의 연속성만을 구조적 가정으로 사용하여 유계가 아닌 연산자도 허용한다.
• 안정성 또는 정규성 조건을 피하기 위해 다항식 차수에 관계없이 국소 시간 스텝이 충분히 작을 경우에만 존재성을 확보한다.
• 국소 오차 제어 기반의 적응형 시간 스텝 전략을 개발하여 폭발 시간을 근사한다.
• 비선형 진화 방정식의 갈레르킨 프레임워크에 맞게 조정된 에너지 추정과 고정점 원리를 활용한다.
• 대수적 비선형성을 가진 폭발 문제의 맥락에서 적응형 알고리즘의 수렴 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성이 뿐만 아니라 연속적인 비선형 초기값 문제에 대해 연속적이고 비연속적인 갈레르킨 시간 이산화가 이산 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이산 해의 존재성은 근사 공간의 다항식 차수에 의존하는가?
• RQ3 대수적 성장 비선형성을 가진 비선형 진화 문제에서 폭발 시간을 계산하기 위해 적응형 시간 스텝을 엄밀히 정당화할 수 있는가?
• RQ4 다항식 근사 차수에 관계없이 국소 시간 스텝 크기가 해의 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 폭발 문제에 적용된 적응형 시간 스텝 알고리즘에 대해 어떤 수렴 보장을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 시간 스텝이 충분히 작을 경우, 다항식 차수에 관계없이 연속적이고 비연속적인 갈레르킨 방법에 대해 이산 해가 존재한다.
• 해의 존재성은 국소 근사 차수에 의존하지 않으며, 오직 시간 스텝 크기에만 의존한다.
• 비선형성에 대한 동일한 연속성 조건 하에서 국소 해의 유일성이 확립된다.
• 대수적 성장 비선형성을 가진 문제에서 폭발 시간을 계산하기 위한 적응형 시간 스텝 알고리즘이 개발되었다.
• 주어진 가정 하에 적응형 알고리즘이 진짜 폭발 시간으로 수렴하는 것으로 증명되었다.
• 비선형 연산자가 연속적이라면, 이론은 고전적인 리프시츠 조건을 초월하여 비유계 비선형 연산자에도 적용 가능하다.