[논문 리뷰] Existence results to a nonlinear p(k)-Laplacian difference equation

Mohsen Khaleghi Moghadam, Mustafa Avcı|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 05.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 변동하는 지수와 가중 함수를 갖는 이산 이방성 p(k)-라플라스 차분 방정식에 대한 딜리클레 경계 조건을 만족하는 비자명한 해의 존재성을 변분 방법을 통해 규명한다. 보난노의 두 국소 최소 정리(정리 2.1 및 정리 2.2)를 적용하여, 적어도 하나의 비자명한 약한 해가 존재하는 매개수 λ의 명시적 구간을 도출하였으며, 추가 조건 하에서는 적어도 세 개의 서로 다른 해가 보장됨을 보였다.

ABSTRACT

In the present paper, by using variational method, the existence of non-trivial solutions to an anisotropic discrete non-linear problem involving p(k)-Laplacian operator with Dirichlet boundary condition is investigated. The main technical tools applied here are the two local minimum theorems for differentiable functionals given by Bonanno.

연구 동기 및 목표

• 변동 지수와 가중 함수를 갖는 이산 이방성 p(k)-라플라스 경계값 문제에 대한 비자명한 해의 존재성을 조사한다.
• p(k)-라플라스 연산자를 통한 비균일 성장 조건을 갖는 이산 문제에 변분 방법을 확장한다.
• 문제가 적어도 하나 또는 세 개의 서로 다른 약한 해를 갖는 조건에서 매개수 λ의 정확한 구간을 결정한다.
• 강체성 및 컴act성 추론을 통해 비선형성 f(k, u)에 대한 충분한 조건을 제시하여 해의 존재성을 보장한다.
• 구체적인 예제를 통한 이론적 결과의 검증을 포함하여 수치적 검증을 수행한다.

제안 방법

• 문제는 변수 지수와 가중 함수 w(k) 및 q(k)를 포함한 p(k)-라플라스 연산자를 포함하는 이산 경계값 문제로 수식화된다.
• 반사적 바나흐 공간 W 위에서 Iλ = Φ - λΨ 기능을 정의하고, 변분 방법을 적용한다. 여기서 Φ는 강체적이며 약한 하측연속성이 있고, Ψ는 연속적으로 가테외 미분 가능하며 유계된 도함수를 갖는다.
• 보난노의 두 국소 최소 정리(정리 2.1 및 정리 2.2)를 적용하여 Iλ의 임계점 존재성을 증명함으로써 약한 해의 존재성을 확립한다.
• 기능 Φ는 p(k)-라플라스 에너지 항과 w(k), q(k)를 포함하는 잠재 에너지 항으로 구성되며, Ψ는 비선형성 f(k, u)의 원시 함수에서 유도된다.
• 조건 α⁺ < p⁻ 하에서 Iλ의 강체성이 증명되어 관련 기능 공간 내 전역 최소화자가 존재함을 보장한다.
• 특정 하위레벨 집합 위에서 Ψ와 Φ의 하한과 상한을 사용하여 λ에 대한 명시적 구간을 유도함으로써 해 존재 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디리클레 경계 조건을 갖는 이산 p(k)-라플라스 문제에서 매개수 λ가 어떤 값일 때 적어도 하나의 비자명한 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 비선형성 f(k, u)와 변수 지수 p(k)에 대해 어떤 조건이 성립할 경우 적어도 세 개의 서로 다른 약한 해가 보장되는가?
• RQ3 변수 가중 함수 w(k)와 q(k), 그리고 지수 p(k)는 해의 존재성과 다중성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 변분 기법과 임계점 이론을 통해 λ에 대한 명시적 구간을 도출할 수 있는가?
• RQ5 성장 조건 ∫₀ᵗ g(s)ds ≤ c₀(1 + t²)는 문제의 해 존재성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 예제 3.10에서 확인한 linf{7.469883186×10⁻¹⁷, ∞[ 구간 내의 λ에 대해 문제는 적어도 하나의 비자명한 약한 해를 갖는다.
• 예제 3.10 및 추론 3.9에 따르면, linf{7.469883186×10⁻¹⁷, 4.791870305×10⁻¹⁴[ 구간 내의 λ에 대해 문제는 적어도 세 개의 서로 다른 약한 해를 갖는다.
• 조건 α⁺ < p⁻ 하에서 에너지 기능 Iλ의 강체성이 보장되어 해의 존재성이 보장된다.
• 비선형성 f(k, u)의 초임계 성장 특성, 특히 ∫₀ᵗ g(s)ds ≤ c₀(1 + t²) 및 α⁺ < p⁻ 조건 하에서 Iλ의 강체성이 유도된다.
• 하위레벨 집합 위에서 Ψ와 Φ의 상한과 하한을 사용하여 λ에 대한 구간 Λₖ를 명시적으로 계산하였으며, Λₖ = ]1/ρ₁(r₁,r₂), 1/β(r₁,r₂)[ 로 표현된다.
• 예제 3.10에서 T=10, p(k)= (2/11)k + 3, w(k)=e^{k(10−k)²}, q(k)=2ᵏ, f(k,x) = e^{(k+2)(k−13)}x/(x²+10⁻¹¹)² 일 때 조건 F1 및 F5를 만족하여 이론적 결과가 수치적으로 검증됨.