[논문 리뷰] Existence, uniqueness, estimation and continuous dependence of the solutions of a nonlinear integral and an integrodifferential equations of fractional order

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 05.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 30인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $ψ$-Hilfer 분수적 도함수를 사용하여 비선형 분수적 볼테라 적분 및 적분미분방정식의 해가 존재하고 유일하며, 이를 추정하고 연속적으로 의존함을 규명한다. 특수한 노름과 분수적 적분 부등식을 도입함으로써 저자들은 해의 안정성을 증명하고 멱급수 함수를 포함한 명시적 경계를 유도한다. 이는 일반적인 비선형 시스템에 대한 분수적 미적분학 이론을 발전시킨다.

ABSTRACT

By means of two fractional order integral inequalities we investigate the existence and uniqueness of the solutions of the fractional nonlinear Volterra integral equation and a fractional nonlinear integrodifferential equation in Banach space $C_ξ$, using an adequate norm, $||\cdot||_{ξ,\infty}$. We estimate the solutions and investigate their continuous dependence.

연구 동기 및 목표

• 비선형 분수적 볼테라 적분 및 적분미분방정식의 해가 바나흐 공간 $C_{\xi}$ 내에서 존재하고 유일함을 확립하는 것.
• 분수적 적분 부등식과 멱급수 함수를 활용하여 해의 명시적 추정을 도출하는 것.
• $ψ$-Hilfer 분수적 도함수의 맥락에서 초기 자료 및 매개변수에 대한 해의 연속적 의존성을 조사하는 것.
• 맞춤형 노름과 거리 구조를 도입하여 분수적 적분방정식의 분석 결과를 일반화하는 것.
• 특히 일반화된 분수적 도함수를 포함하는 비선형 시스템에 대해 분수적 미적분학의 이론적 기초에 기여하는 것.

제안 방법

• 저자들은 해의 행동을 분석하기 위해 바나흐 공간 $C_{\xi}$ 위에 새로운 노름 $||\cdot||_{\xi,\infty}$ 과 거리 구조를 정의한다.
• 해의 차이를 유 bounds하기 위해 두 가지 핵심 분수적 적분 부등식(보조정리 4 및 5)과 멱급수 함수를 포함한 추론을 활용한다.
• 비선형 적분 및 적분미분방정식을 모델링하기 위해 $ψ$-Hilfer 분수적 도함수와 $ψ$-리만-뒤이블레 분수적 적분을 사용한다.
• 비선형 항의 리프시츠 조건과 유계성 조건 하에서 수축 유형의 추론을 통해 해의 추정을 도출한다.
• 해의 차이를 매개변수 및 초기 자료의 변화에 따라 유 bounds하기 위해 멱급수 함수를 활용하여 연속적 의존성을 증명한다.
• 이 틀은 초기 조건이 있는 분수적 적분방정식 (1.1) 과 분수적 적분미분방정식 (1.2) 에 모두 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 분수적 볼테라 적분방정식이 $ψ$-Hilfer 도함수를 갖는 경우, 어떤 조건에서 $C_{\xi}$ 내에 고유한 해가 존재하는가?
• RQ2 어떻게 분수적 적분 부등식을 사용하여 비선형 분수적 적분방정식의 해를 추정할 수 있는가?
• RQ3 비선형 분수적 적분미분방정식의 해는 초기 자료 및 매개변수에 대해 어떻게 연속적으로 의존하는가?
• RQ4 멱급수 함수는 해의 안정성과 오차 경계를 정량화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 노름과 거리 구조는 분수적 적분미분 문제의 해 공간에서 완비성과 수렴성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 리프시츠 조건과 유계성 조건 하에서 분수적 적분방정식 (1.1) 의 해는 바나흐 공간 $C_{\xi}$ 내에 존재하고 유일하다.
• 명시적 해 추정이 도출된다: $||x||_{\xi,\infty} \leq \frac{M}{1 - \overline{N}}$, 여기서 $M$ 은 비선형 항의 유계값이고 $\overline{N} < 1$ 은 리프시츠 상수이다.
• 연속적 의존성에 대해, 해 $z_1(t)$ 와 $z_2(t)$ 의 차이는 $|z_1(t) - z_2(t)| \leq \frac{Q|\mu - \mu_0|}{1 - \overline{N}} \mathbb{E}_{\alpha}\left[\frac{\overline{N}}{1 - \overline{N}} r(t,t)(\psi(t) - \psi(a))^\alpha\right]$ 로 유 bounds된다.
• 연속적 의존성 결과는 매개변수에 의존하는 시스템으로 확장되어 멱급수 함수를 포함한 경계를 도출한다: $|z_1(t) - z_2(t)| \leq Q|\mu - \mu_0| \mathbb{E}_{\alpha}\left\{\overline{p}(t)\Gamma(\alpha) \mathbb{E}_{\alpha}(\overline{r}(t,t)\Gamma(\alpha)(\psi(t) - \psi(a))^\alpha)(\psi(t) - \psi(a))^\alpha\right\}$.
• 결과는 일반적인 $ψ$-Hilfer 분수적 도함수에 대해 유효하며, 이는 이전 연구를 더 넓은 범주로 확장한다.
• 이론적 틀은 새로운 노름과 거리 구조에 기반하여 구축되며, 해 공간의 완비성과 해의 안정성에 대한 엄밀한 분석을 보장한다.