[논문 리뷰] Existence, Uniqueness of Positive Solution to a Fractional Laplacians with Singular Nonlinearity

Yanqin Fang|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 13.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $0 < s < 1$ 및 $0 < p < 1$ 인 매끄럽고 유계인 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 에서 분수 라플라스 방정식에 대한 양의 고전적 해의 존재성과 유일성을 확립한다. $(-Δ)^s u = u^{-p}$ 형태의 특이 비선형성을 다루며, 정규화된 근사 문제에 하위-상위해법을 적용하고, 기존의 $L^\infty$ 유계성 결과를 활용하여 약한 해의 정(regularity)을 확보함으로써, $\Omega$ 내부에서 양이며 $\partial\Omega$ 에서는 0이 되는 고전적 해로 수렴하는 것을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the existence and uniqueness of positive classical solution of the fractional Laplacian with singular nonlinearity in a smooth bounded domain with zero Drichlet boundary conditions. By the method of sub-supersolution, we derive the existence of positive classical solution to the approximation problems. In order to obtain the regularity, we first establish the existence of weak solution for the fraction Laplacian. Thanks to \cite{XY}, the regularity follows from the boundedness of weak solution.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 유계인 도메인에서 분수 라플라스 방정식에 대한 양의 고전적 해의 존재성과 유일성을 확립한다: $(-\Delta)^s u = u^{-p}$.
• 고전적인 하위-상위해법을 특이 항을 포함한 비국소적 분수 라플라스 설정으로 확장한다.
• 특이 분수 타원형 문제에 대한 존재성 및 유일성 결과에 대한 문헌의 격차를 메운다.
• 정규화된 해의 극한이 $C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$ 에 속하는 고전적 해임을 증명한다.
• 해가 $\Omega$ 내부에서 엄밀히 양이며 $\partial\Omega$ 에서는 0이 되는지 확인한다.

제안 방법

• 특이 비선형성을 제거하기 위해 $u^{-p}$ 를 $(\epsilon + u)^{-p}$ 로 대체함으로써 근사 문제를 구성한다.
• 하위-상위해법 적용: 하위해로 0을, $(-\Delta)^s w = \epsilon^{-p}$ 의 해를 상위해로 사용한다.
• 작은 $\epsilon > 0$ 에 대해 정규화된 문제의 고전적 해 $u_\epsilon$ 가 존재하고 유일함을 증명한다.
• $u_\epsilon$ 이 $\epsilon$ 에 대해 증가함을 보이고, $L^\infty(\Omega)$ 에서의 유계성을 확보하여 $\epsilon \to 0^+$ 일 때 수렴함을 보장한다.
• Caffarelli-Silvestre 확장을 사용하여 $(-\Delta)^s u$ 를 딜리클레-노이만 맵으로 표현함으로써, $H^1_{0,L}(y^{1-2s})$ 에서의 약한 공식화를 가능하게 한다.
• 약한 수렴성과 도미네이티드 수렴 정리(Dominated Convergence Theorem)를 이용해 극한을 취함으로써 약한 해 $u$ 를 얻고, 그 정(regularity)과 고전적 성격을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄럽고 유계인 도메인에서 분수 라플라스 방정식에 대한 특이 비선형성 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ 에 대해 양의 고전적 해가 존재하는가?
• RQ2 주어진 조건 하에서 양의 해가 유일한가?
• RQ3 고전적인 하위-상위해법은 특이 항이 포함된 비국소적 분수 라플라스 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 극한 해의 정(regularity) 성질은 무엇이며, $C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$ 에 속하는지 입증할 수 있는가?
• RQ5 해는 $\Omega$ 내부에서 유계이고 양이며, $\partial\Omega$ 에서는 0인가?

주요 결과

• $0 < s < 1$ 및 $0 < p < 1$ 인 경우, 매끄럽고 유계인 도메인 $\Omega$ 에서 $(-\Delta)^s u = u^{-p}$ 에 대해 유일한 양의 고전적 해 $u \in C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$ 가 존재한다. 경계 조건은 0 딜리클레 조건이다.
• 해는 정규화된 문제 $(-\Delta)^s u_\epsilon = (\epsilon + u_\epsilon)^{-p}$ 의 해 $u_\epsilon$ 이 $\epsilon \to 0^+$ 일 때 균일한 극한으로서 유도된다.
• 수열 $\{u_\epsilon\}$ 은 $\epsilon$ 에 대해 증가하며, 작은 $\epsilon$ 에 대해 $\|u_\epsilon\|_{L^\infty(\Omega)}$ 는 유계이다.
• 극한 해 $u$ 는 $H^s_0(\Omega)$ 에 속하는 약한 해이며, 기존의 약한 해에 대한 정(regularity) 결과를 활용하여 $C_{\text{loc}}^{2,\alpha}(\Omega)$ 로 정(regularity)을 향상시킬 수 있다.
• 유일성은 모순에 의한 증명으로 증명된다: 두 개의 서로 다른 해가 존재한다고 가정하면, 최소점에서 최대원리가 위반된다.
• 해는 $\Omega$ 내부에서 $u > 0$ 이고 $\partial\Omega$ 에서는 $u = 0$ 이며, 경계 조건과 문제의 구조와 일치한다.