[논문 리뷰] Exit Probabilities for a Chain of Distributed Control Systems with Small Random Perturbations

Getachew K. Befekadu, Panos J. Antsaklis|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 26.

Petri Nets in System Modeling참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소음 강도 ε→0일 때, 작은 무작위 교란이 있는 분산 제어 시스템의 사슬에서 확산 과정의 탈출 확률에 대한 渐近적 추정을 개발한다. 탈출 확률을 확률적 제어 문제의 값 함수로 해석함으로써, 대편차 이론 기반의 경계를 도출하며, 교란이 시스템을 통해 어떻게 전파되는지를 특성화한다. 이로써 소음 강도 ε→0일 때 탈출 확률이 지수적으로 감소하는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a diffusion process pertaining to a chain of distributed control systems with small random perturbation. The distributed control system is formed by n subsystems that satisfy an appropriate Hormander condition, i.e., the second subsystem assumes the random perturbation entered into the first subsystem, the third subsystem assumes the random perturbation entered into the first subsystem then was transmitted to the second subsystem and so on, such that the random perturbation propagates through the entire distributed control system. Note that the random perturbation enters only in one of the subsystems and, hence, the diffusion process is degenerate, in the sense that the backward operator associated with it is a degenerate parabolic equation. Our interest is to estimate the exit probability with which a diffusion process (corresponding to a particular subsystem) exits from a given bounded open domain during a certain time interval. The method for such an estimate basically relies on the interpretation of the exit probability function as a value function for a family of stochastic control problems that are associated with the underlying chain of distributed control systems.

연구 동기 및 목표

• 소음 강도가 작은 무작위 교란 하에서, 분산 제어 시스템의 사슬에 있는 확산 과정이 유계 영역을 벗어나는 확률을 추정하는 것.
• 첫 번째 시스템에서 직접 영향을 받는 무작위 교란이, 이후의 서브시스템들을 거쳐 어떻게 전파되는지 분석하는 것.
• 대편차 원리와 확률적 제어 이론을 사용하여 시스템의 탈출 시간 행동을 특성화하는 것.
• 소음 수준 ε가 0에 수렴함에 따라 탈출 확률에 대한 균일한 渐近적 경계를 수립하는 것.

제안 방법

• 소음은 오직 첫 번째 서브시스템에 직접적으로 작용하고, 후속 서브시스템들은 상태에 의존하는 동역학을 통해 교란을 유전하는 n차원 확산 과정으로 시스템을 모델링한다.
• 관련된 비퇴화 편미분 후행 연산자의 초타원성과 잘 정의됨을 보장하기 위해 Hörmander 조건을 적용한다.
• 탈출 확률 함수를 가족 형태의 확률적 제어 문제의 값 함수로 해석함으로써, 동적 프rogramming 원리를 적용할 수 있도록 한다.
• 소음이 작은 극한에서 탈출 확률의 상한 및 하한을 도출하기 위해 Ventcel-Freidlin의 渐近적 추정을 적용한다.
• 탈출 확률의 하한을 구하기 위해 페널티 함수 Φ_M을 도입하고, 동적 프로그래밍 부등식의 검증을 수행한다.
• 상태 공간의 컴act 부분집합 위에서 탈출 확률 속도 함수 I^ε,ℓ가 그 영소음 한계 I^0,ℓ로 균일 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음이 오직 첫 번째 서브시스템에 직접적으로 영향을 주는 분산 제어 시스템의 사슬에서, 작은 무작위 교란은 어떻게 전파되는가?
• RQ2 소음 강도 ε→0일 때, 이러한 시스템의 서브시스템에서의 탈출 확률의 渐近적 행동은 어떠한가?
• RQ3 이러한 시스템에서 서브시스템의 탈출 확률는 확률적 제어 프레임워크 내에서 값 함수로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 소음이 작은 조건에서, 유계 영역에서의 시스템 탈출 시간에 대한 대편차 추정은 무엇인가?
• RQ5 사슬의 구조(예: 순차적 의존성)는 탈출 확률 속도 함수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• ε→0일 때 탈출 확률은 지수적으로 감소하며, 그 속도는 대편차 속도 함수 I^ε,ℓ에 의해 결정된다.
• ε→0일 때, 상태 공간의 컴act 부분집합 위에서 속도 함수 I^ε,ℓ가 그 영소음 한계 I^0,ℓ로 균일 수렴한다.
• 탈출 확률의 상한은 비퇴화 확산에 대한 Ventcel-Freidlin 추정을 통해 확립된다.
• 탈출 확률의 하한은 페널티 함수 접근법과 동적 프로그래밍 부등식의 검증을 통해 도출된다.
• 탈출 확률 함수가 확률적 제어 문제의 값 함수임을 보여주며, 이는 동적 프로그래밍을 통한 분석적 다루기가 가능함을 의미한다.
• 결과들은 시스템이 정해진 영역을 떠나기 전까지 지속되는 시간의 길이에 대한 渐近적 정보를 제공한다.