[논문 리뷰] Exotic group C*-algebras

Matthew Wiersma|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비유비탈리성 이산군, 특히 $SL_n(\mathbb{Z})$와 자유군에 대해 이상군 C*-대수의 새로운 구성법을 제시한다. 이는 이상군 C*-대수의 이상완비화와 격자 구조를 결합한 것이다. 특히 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$가 어떤 $C^*_{\ell^q}$에 의해 지배되지 않는 새로운 중간 C*-대수의 클래스를 이룬다는 것을 증명하며, $SL_n(\mathbb{Z})$에 대해 비가산 개의 서로 다른 이상 C*-대수를 확립한다.

ABSTRACT

Let $Γ$ be a discrete group. When $Γ$ is nonamenable, the reduced and full group $C$*-algebras differ and it is generally believed that there should be many intermediate $C$*-algebras, however few examples are known. In this paper we give new constructions and compare existing constructions of intermediate group $C$*-algebras for both generic and specific groups $Γ$.

연구 동기 및 목표

• 비유비탈리성 군에 대해 감소형과 전형형 군 C*-대수 사이의 명시적 중간 C*-대수를 구성하는 오랜 동안 미해결된 문제를 해결한다.
• 이상 C*-대수의 기존 구성법을 비교하고 통합한다. 이는 이상완비화($\ell^p$-표현), 베키의 산술군 구성법, $\lambda_{G_d}$-기반 방법을 포함한다.
• 군 C*-대수의 집합에 격자 구조를 도입하여 새로운 이상 C*-대수를 체계적으로 생성한다.
• $C^*_{\ell^p}$와 $C^*_{\mathcal{F}_0}$ 대수를 조합하여 $SL_n(\mathbb{Z})$에 대해 비가산 개의 서로 다른 이상 C*-대수의 존재를 확립한다.
• $\mathbb{F}_\infty$에 대해 $\ell^p$-사슬 외부에 위치하는 새로운 종류의 이상 C*-대수를 제공하여, 기존의 이상 군 C*-대수의 지도를 확장한다.

제안 방법

• 군 $\Gamma$에 대해 $\ell^\infty(\Gamma)$의 전이-불변 이상 $D \subset \ell^\infty(\Gamma)$, 특히 $D = \ell^p(\Gamma)$를 이용해 C*-세미노름을 정의하고 $\mathbb{C}[\Gamma]$를 $C^*_D(\Gamma)$로 완비화한다.
• 기존의 군 C*-대수 집합에 격자 구조를 도입하여, 기존 대수들의 합과 교차를 통해 새로운 C*-대수를 생성한다.
• 펠 토폴로지와 약한 포함 기법을 적용하여 표현의 수렴을 분석하고, 자명한 부분표현을 탐지한다.
• 특히 $\mathbb{F}_2 \subset SL_2(\mathbb{Z})$의 포함관계를 통해 자유군에서 $SL_n(\mathbb{Z})$로 표현의 유도와 제한을 이용하여 성질를 전이한다.
• 베키의 동치부군 및 자명한 표현 고립 결과를 응용하여, 특정 유도 표현이 자명한 표현을 약하게 포함하지 않는다는 것을 보인다.
• $C^*_{\mathcal{F}_0}(\Gamma) \vee C^*_{\ell^p}(\Gamma)$의 합을 통해 새로운 종류의 이상 C*-대수를 구성하며, $q > p$에 대해 어떤 $C^*_{\ell^q}$에 의해도 지배되지 않는다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유비탈리성 군에 대해 알려진 $\ell^p$-완비화를 초월하여 체계적으로 새로운 이상 군 C*-대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $SL_n(\mathbb{Z})$에 대해 $\ell^p$-사슬 외부에 위치하고, 어떤 $C^*_{\ell^q}$에 의해도 지배되지 않는 이상 C*-대수가 존재하는가?
• RQ3 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$가 각각의 $p$에 대해 새로운, 서로 다른 이상 C*-대수를 유도하는가?
• RQ4 $SL_n(\mathbb{Z})$의 $\ell^p$-완비화에 관련된 표현들이 자명한 표현을 약하게 포함하지 않는다는 것을 보일 수 있는가?
• RQ5 $\mathbb{F}_\infty$에 대해 $\ell^p$-가족에 속하지 않는 이상 C*-대수를 구성하는 것이 가능한가?

주요 결과

• $SL_n(\mathbb{Z})$에 대해 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z}))$의 합을 통해 새로운 종류의 이상 군 C*-대수를 구성하였으며, 이는 어떤 $C^*_{\ell^q}$에 의해도 지배되지 않는다.
• $p \in [1, \infty)$에 대해 모든 $q > p$에 대해 $C^*_{\mathcal{F}_0}(SL_n(\mathbb{Z})) \vee C^*_{\ell^p}(SL_n(\mathbb{Z})) \not\succeq C^*_{\ell^q}(SL_n(\mathbb{Z}))$임을 증명하여, 합이 어떤 $C^*_{\ell^q}$ 대수에 포함되지 않음을 보였다.
• $SL_n(\mathbb{Z})$에 대해 $\ell^p$-사슬과 $\lambda_{G_d}$-기반 구성법을 초월하는 비가산 개의 서로 다른 이상 C*-대수의 가족을 구성하였다.
• $\mathbb{F}_\infty$에 대해 $\ell^p$-가족 외부에 위치하는 새로운 이상 C*-대수를 구성하였으며, 이는 더 넓은 종류의 이상 대수를 보여준다.
• $SL_n(\mathbb{Z})$의 $\ell^p$-완비화에 관련된 표현들은 자명한 표현을 약하게 포함하지 않으며, 이는 새로운 C*-대수들이 $C^*_{\ell^q}$ 대수들과 구별되는 데 핵심적인 성질로 사용되었다.