[논문 리뷰] Exotic tilting sheaves, parity sheaves on affine Grassmannians, and the Mirkovic-Vilonen conjecture

Carl Mautner, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 34인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 베즈루카브니크의 스프링거 해소에 대한 G×Gm-작용하는 코herent sheaf의 유도 범주에서의 기울임 대상들과 랑글랜즈 쌍대군의 아핀 그라스만이에서의 아이와호리-구성 가능한 펄서티 복합체 사이의 등가성을 확립한다. 주요 기여는 양호한 특성에서 구조적 펄서티 복합체의 펄서티성에 대한 미르코비치–비론센 추측에 대한 모odu라 증명이며, 양호한 특성에서 아르히포프–베즈루카브니크–긴즈부르크의 결과를 양의 특성으로 일반화하는 새로운 등가성도 제시한다.

ABSTRACT

Let $\mathbf{G}$ be a connected reductive group over an algebraically closed field $\mathbb{F}$ of good characteristic, satisfying some mild conditions. In this paper we relate tilting objects in the heart of Bezrukavnikov's exotic t-structure on the derived category of equivariant coherent sheaves on the Springer resolution of $\mathbf{G}$, and Iwahori-constructible $\mathbb{F}$-parity sheaves on the affine Grassmannian of the Langlands dual group. As applications we deduce in particular the missing piece for the proof of the Mirkovic-Vilonen conjecture in full generality (i.e. for good characteristic), a modular version of an equivalence of categories due to Arkhipov-Bezrukavnikov-Ginzburg, and an extension of this equivalence.

연구 동기 및 목표

• 스프링거 해소에서의 이국적 기울임 복합체와 랑글랜즈 쌍대군의 아핀 그라스만이에서의 펄서티 복합체 사이의 카테고리 등가성을 확립한다.
• 양호한 특성에서 구조적 펄서티 복합체의 펄서티성에 대한 미르코비치–비론센 추측에 대한 모듈라 증명을 제공한다.
• 모듈라 혼합 유도 범주 구조를 통해 아르히포프–베즈루카브니크–긴즈부르크 등가성을 양의 특성으로 일반화한다.
• 스프링거 해소에서의 등가성을 그로텐디에크 해소 $\widetilde{\mathfrak{g}}$로 확장하여, 코herent 복합체와 아이와호리-등변 복합체 사이의 연결을 맺는다.

제안 방법

• $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$와 $\check{G}$의 아핀 그라스만이에서의 아이와호리-구성 가능한 복합체에 대한 모듈라 혼합 유도 범주 사이의 카테고리 등가성을 구축한다.
• 스프링거 해소에 적용된 이국적 t-구조와 그 하트를 사용하며, 이는 $\mathbf{X} \times \mathbb{Z}$에 따라 인덱싱된 표준 및 코표준 대상들을 가진 등급을 가진 최고 무게 카테고리이다.
• 좋은 특성에서의 체를 계수로 사용하는 아핀 그라스만이에서의 펄서티 복합체 이론을 적용한다.
• 스프링거 해소에 작용하는 $\mathbf{G} \times \mathbb{G}_m$와 그에 따른 등급을 이용하여 $\mathbf{X} \times \mathbb{Z}$에 따라 인덱싱된 기울임 대상을 정의한다.
• 동치를 위한 코homological 기법, 특히 등변 및 혼합 코homology를 사용하여 $\mathbb{H}^\bullet$와 $\Gamma(\widetilde{\mathcal{N}}, \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(-w_0\mu))_m$를 포함하는 등식을 통한 Ext-군의 이sovomorphism을 유도한다.
• 타투로로지컬 $\mathbb{G}_m$-모듈을 곱하는 것으로 정의되는 자동 등가 $\langle 1\rangle$를 사용하여 유도 범주 내에서 등급을 이동시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스프링거 해소에서의 아핀 그라스만이에서의 구조적 펄서티 복합체는 미르코비치–비론센 추측이 예측한 바와 같이 양호한 특성에서 펄서티적인가?
• RQ2 모듈라 혼합 유도 범주를 통해 아르히포프–베즈루카브니크–긴즈부르크 등가성이 양의 특성으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$와 아핀 그라스만이에서의 아이와호리-등변 복합체에 대한 모듈라 혼합 유도 범주 사이에 카테고리 등가성이 존재하는가?
• RQ4 이 등가는 스프링거 해소에서 그로텐디에크 해소 $\widetilde{\mathfrak{g}}$로 확장되는가?
• RQ5 랭글랜즈 대칭에 따라, 이국적 t-구조 내의 기울임 대상은 어떻게 펄서티 복합체와 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\check{G}$의 아핀 그라스만이에서의 구조적 펄서티 복합체가 양호한 특성에서 펄서티적임을 증명하여, 미르코비치–비론센 추측의 전반적인 증명을 완성한다.
• 논문은 $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$와 $\mathcal{G}r$에서의 아이와호리-구성 가능한 복합체에 대한 모듈라 혼합 유도 범주 사이의 등가성을 구축하며, 아르히포프–베즈루카브니크–긴즈부르크 등가성을 양의 특성으로 일반화한다.
• 이 등가는 $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathfrak{g}})$와 $\mathcal{G}r$에서의 아이와호리-등변 복합체에 대한 모듈라 혼합 유도 범주 사이의 등가로 확장되며, 원래 결과를 그로텐디에크 해소로 확장한다.
• 이국적 t-구조 내의 기울임 대상 $\mathcal{T}^\lambda$는 아핀 그라스만이에서의 펄서티 복합체 $\mathcal{E}^\lambda$에 대응하며, $\mathbb{G}_m$-작용에 의해 유도되는 등급 이동이 발생한다.
• 양 측의 카테고리에서의 Ext-군은 서로 이sovom르다: $\operatorname{Hom}^{m}(\Delta^\mu_{\widetilde{\mathcal{N}}}, \mathcal{T}^\lambda\langle -m\rangle) \cong \left( \mathsf{T}(\lambda) \otimes \Gamma(\widetilde{\mathcal{N}}, \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(-w_0\mu)) \right)^\mathbf{G}_m$.
• 증명은 코homology 군 간의 자연스러운 이sovomorphism에 기반한다: $\operatorname{Hom}^{m}(\Delta^{\mathrm{mix}}_{-\mu}, \mathcal{E}^{\mathrm{mix}}_{-\lambda}\langle -m\rangle) \cong \mathbb{H}^{m - \dim(\mathcal{G}r^\mu)}(\imath_\mu^! \mathcal{E}^\lambda)$, 이는 기하학적 자료와 표현론적 자료를 연결한다.