[논문 리뷰] Expanders and box spaces

Ana Khukhro, Alain Valette|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 04.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성, 잔여 유한군의 쌍순서된 몫들의 코arse 불변량인 상자 공간(box spaces)의 성질을 조사한다. 특히 $SL_n(\mathbb{Z})$ 및 관련 군에서 유도된 확산자(expanders)에 초점을 맞춘다. $n \geq 2$ 일 때, $SL_n(\mathbb{Z})$ 는 서로 다른 계량 필터링을 통해 연속체의 쌍순서로 비-코arse 등가인 확산자를 갖는다. 또한 $n \geq 3$ 일 때 서로 다른 $n$ 에 대해 $SL_n(\mathbb{Z})$ 의 상자 공간들이나 서로 다른 소수 $p$ 에 대해 $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ 의 상자 공간들이 서로 비-코arse 등가임을 보여준다. 또한 강한 비확산 성질인 $D_\alpha$ 를 특성화하고, 이 성질이 가상으로 $\mathbb{Z}$ 로의 전사 사상과 동치임을 증명하며, 램플라이터와 $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ 군에 대해 명시적인 예를 제시한다.

ABSTRACT

We consider box spaces of finitely generated, residually finite groups $G$, and try to distinguish them up to coarse equivalence. We show that, for $n\geq 2$, the group $SL_n(\mathbb{Z})$ has a continuum of box spaces which are pairwise non-coarsely equivalent expanders. Moreover, varying the integer $n\geq 3$, expanders given as box spaces of $SL_n(\mathbb{Z})$ are pairwise inequivalent; similarly, varying the prime $p$, expanders given as box spaces of $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ are pairwise inequivalent. A strong form of non-expansion for a box space is the existence of $α\in]0,1]$ such that the diameter of each component $X_n$ satisfies $diam(X_n)=Ω(|X_n|^α)$. By a result of Breuillard and Tointon, the existence of such a box space implies that $G$ virtually maps onto $\mathbb{Z}$: we establish the converse. For the lamplighter group $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ and for a semi-direct product $\mathbb{Z}^2 times\mathbb{Z}$, such box spaces are explicitly constructed using specific congruence subgroups. We finally introduce the full box space of $G$, i.e. the coarse disjoint union of all finite quotients of $G$. We prove that the full box space of a group mapping onto the free group $\mathbb{F}_2$ is not coarsely equivalent to the full box space of an $S$-arithmetic group satisfying the Congruence Subgroup Property.

연구 동기 및 목표

• 잔여 유한군의 상자 공간들이 코arse 등가성에 대해 구분되는 방법을 연구하며, 특히 $SL_n(\mathbb{Z})$ 및 관련 군에서 유도된 확산자에 초점을 맞춘다.
• 성질 $D_\alpha$ 를 기하학적으로 특성화한다. 이는 구성 요소의 지름이 크기의 양수 거듭제곱 비율로 증가하는 강력한 비확산 성질이며, 이를 군의 구조와 연결한다.
• $D_\alpha$-상자 공간의 존재가 군이 가상으로 $\mathbb{Z}$ 로 전사됨을 의미하며, 약간의 조건 하에 그 역도 성립함을 증명한다.
• 비가역군인 램플라이터 군과 $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ 군에 대해 계량 부분군을 이용하여 명시적인 $D_\alpha$-상자 공간을 구성한다.
• 다른 군의 전체 상자 공간(모든 유한 몫의 합집합)을 비교하여, $\Box \mathbb{F}_2$ 는 $S$-산술 군 중에서 계량 부분군 성질을 갖는 군 $\Box G$ 와 코arse 등가가 아님을 보인다.

제안 방법

• $SL_m(\mathbb{Z})$ 에서 정규부분군의 감소 필터링 $\Gamma(N_k(s))$ 를 사용하여 상자 공간을 구성한다. 여기서 $N_k(s) = 2^{[ks]}$ 이며, 이로 인해 유도된 공간들이 확산자임을 보장한다.
• 확산자를 정의하기 위해 체허 상수를 사용하고, 마르게리스와 멘델-나오르의 결과를 응용하여 코arse 비통합 가능성에 의해 확산자를 구분한다.
• $D_\alpha$-성질을 도입한다: 어떤 $K > 0$ 에 대해 $\text{diam}(G/M) \geq K \cdot |G/M|^\alpha$ 를 만족하며, 이 성질이 코arse 불변량임을 증명한다.
• $D_\alpha$-상자 공간이 존재하는 것은 군이 가상으로 $\mathbb{Z}$ 로 전사됨과 동치이며, 램플라이터 및 $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ 군에서 계량 부분군을 이용한 명시적 구성법을 통해 이를 증명한다.
• 에스킨-파이저-왜트의 준등장사상 기준을 적용하여, 비공명성인 와이어드 군인 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ 와 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ 가 등거리(따라서 코arse 등가) 상자 공간을 갖는다는 것을 보여준다.
• 전체 상자 공간 구성(모든 유한 몫의 합집합)을 사용하여 $\mathbb{F}_2$ 와 $S$-산술 군을 비교하며, 정규부분군의 수의 성장률을 통해 코arse 등가가 아님을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 $n \geq 3$ 에 대해 $SL_n(\mathbb{Z})$ 의 상자 공간들이 코arse 등가인가?
• RQ2 서로 다른 소수 $p$ 에 대해 $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ 의 상자 공간들이 코arse 등가인가?
• RQ3 $D_\alpha$-성질은 가상으로 $\mathbb{Z}$ 로의 전사가 없는 군에서도 실현 가능한가?
• RQ4 $\mathbb{Z}\wr\mathbb{Z}$ 의 계량 상자 공간 중에서 $D_\alpha$-성질을 갖는 것이 존재하는가?
• RQ5 다른 계수를 가진 자유군의 전체 상자 공간들은 코arse 등가인가?

주요 결과

• $m \geq 2$ 일 때, 상자 공간 $\square_{(\Gamma(N_k(s)))}SL_m(\mathbb{Z})$ 는 상호간에 비-코arse 등가인 확산자이며, 이로 인해 이러한 확산자들이 연속체의 수를 갖는다.
• $n \geq 3$ 일 때, $SL_n(\mathbb{Z})$ 의 상자 공간들은 상호간에 비-코arse 등가이며, 마찬가지로 서로 다른 소수 $p$ 에 대해 $SL_2(\mathbb{Z}[\sqrt{p}])$ 의 상자 공간들도 비-코arse 등가이다. 이는 성장 및 스펙트럼 성질의 차이 때문이다.
• $D_\alpha$-성질은 코arse 불변량이며, $D_1$ 이 성립하는 것은 군이 가상 순환군임과 동치이다.
• 램플라이터 군 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ 와 $\mathbb{Z}^2 \rtimes \mathbb{Z}$ 에 대해 특정 계량 부분군을 이용하여 명시적인 $D_\alpha$-상자 공간을 구성하였다.
• $\mathbb{F}_2$ 로 전사하는 군의 전체 상자 공간은, 계량 부분군 성질을 갖는 모든 $S$-산술 군의 전체 상자 공간과 코arse 등가가 아니다.
• 비공명성인 군들인 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ 와 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ 는 등거리(따라서 코arse 등가) 상자 공간을 갖는다. 이는 코arse 등가성은 공명성(Commensurability)을 함의하지 않음을 보여준다.