[논문 리뷰] Expansion for moments of regression quantiles with application to nonparametric testing

Enno Mammen, Ingrid Van Keilegom외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 26.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 커널 스무딩을 이용한 회귀 분위수(parametric regression quantiles)의 비모수적 검정을 개발하며, Nadaraya-Watson 분위수 추정기의 모멘트에 대한 고차수 Edgeworth 전개를 통해 점근적 이론을 도출한다. 주요 기여는 균형 없는 비모수적 피팅과 모수적 피팅 사이의 가중 L²-거리와 점근적으로 동일한 검정 통계량을 제안하는 것으로, 귀무가설 하에서 정규 분포를 갖는다. 이는 엄격한 밴드위드 또는 차원 제약 조건 없이 타당한 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We discuss nonparametric tests for parametric specifications of regression quantiles. The test is based on the comparison of parametric and nonparametric fits of these quantiles. The nonparametric fit is a Nadaraya-Watson quantile smoothing estimator. An asymptotic treatment of the test statistic requires the development of new mathematical arguments. An approach that makes only use of plugging in a Bahadur expansion of the nonparametric estimator is not satisfactory. It requires too strong conditions on the dimension and the choice of the bandwidth. Our alternative mathematical approach requires the calculation of moments of Nadaraya-Watson quantile regression estimators. This calculation is done by application of higher order Edgeworth expansions.

연구 동기 및 목표

• 모수적 회귀 분위수 모델에 대한 비모수적 적합도 검정을 개발하기 위해.
• 강한 밴드위드 및 차원 제약 조건이 필요한 기존 Bahadur 전개 접근법의 한계를 극복하기 위해.
• 모수적 및 비모수적 분위수 피팅 간의 L²-거리 기반 검정 통계량의 점근적 정규성을 확립하기 위해.
• Nadaraya-Watson 분위수 추정기 모멘트의 고차수 Edgeworth 전개를 사용하여 귀무가설 하에서 검정 통계량의 점근적 분포를 유도하기 위해.
• 다양한 대안에 대해 강력하고 종합적인 검정을 제공하여 분위수 회귀 모델에서의 다양한 이탈을 탐지할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 비모수적 Nadaraya-Watson 분위수 추정기와 모수적 피팅 간의 통합 제곱차이를 기반으로 한 검정 통계량을 제안한다.
• 제품 커널과 밴드위드 $ h $ 를 사용한 커널 스무딩을 적용하며, 모든 밴드위드가 동일한 순서임을 가정한다.
• 비모수적 추정기 $ \widehat{r}_{\alpha}(x) $ 는 모수적 피팅에서의 잔차들에 대해 가중 체크 함수를 최소화하는 값으로 정의된다.
• Nadaraya-Watson 분위수 추정기의 모멘트를 계산하기 위해 고차수 Edgeworth 전개를 적용하여 점근적 분석을 가능하게 한다.
• 검정 통계량을 구성요소로 분해하고, U-통계량 중심극한정리와 모멘트 계산을 통해 점근적 정규성을 증명한다.
• 검정 통계량 $ \widehat{T}_A $ 가 비모수적 및 모수적 피팅 간의 가중 $ L^2 $-거리와 점근적으로 동일하다는 것을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한적인 Bahadur 전개 가정에 의존하지 않고, 모수적 회귀 분위수 모델에 대한 비모수적 검정을 개발할 수 있는가?
• RQ2 모수적 및 비모수적 분위수 피팅을 비교하는 커널 기반 검정 통계량의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ3 일반 조건 하에서 Nadaraya-Watson 분위수 추정기의 모멘트를 도출하기 위해 고차수 Edgeworth 전개를 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ4 밴드위드와 차원이 제약 없이 적용될 때, 제안된 검정이 귀무가설 하에서 점근적 정규성을 유지하는가?
• RQ5 해당 검정은 다양한 분위수와 공변량 값에서 모수적 사양의 이탈을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 검정 통계량 $ \widehat{T}_A $ 는 비모수적 및 모수적 분위수 추정기 간의 가중 $ L^2 $-거리와 점근적으로 동일하다.
• 귀무가설 하에서 $ nh^{d/2}T_{n7} $ 는 평균 $ D_A $ 와 분산 $ V_A $ 를 갖는 정규 랜덤 변수로 수렴한다. 여기서 $ D_A $ 는 통합 제곱 편향이고 $ V_A $ 는 점근적 분산이다.
• 항 $ T_{n1} $ 에서 $ T_{n6} $ 까지는 점근적으로 무시할 수 있으며, $ T_{n6} = o_P((nh^{d/2})^{-1}) $ 이다. 이는 주로 $ T_{n7} $ 이 기여한다는 것을 보장한다.
• U-통계량 중심극한정리와 모멘트 조건 및 탈중요성 제어의 검증을 통해 $ nh^{d/2}T_{n7} $ 의 점근적 정규성이 입증된다.
• 검정은 차원성과 밴드위드 선택에 대해 강건하며, 직접적인 Bahadur 전개 방법이 요구하는 엄격한 규칙성 조건을 피한다.
• 이론적 프레임워크는 평균 회귀 기반 검정이 탐지할 수 없는 다양한 대안에 대해 강력한 검정력을 지닌 종합적 검정을 지원한다.