[논문 리뷰] Expansion of fractional derivatives in terms of an integer derivative series: physical and numerical applications

Anastasia Gladkina, Gavriil Shchedrin외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 14.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 정수계수 미분을 이용한 그룬발트-레트니코프 분수도함수의 무한급수 전개를 유도하며, 리만-리오빌 및 카푸토 정의와의 동치성을 입증한다. 이 방법은 선형 분수미분방정식의 안정적인 수치적 해법을 가능하게 하며, 잘라낸 급수는 미타그레플레르 및 포크-브라이트 함수를 포함한 정확한 해에 빠르게 수렴한다.

ABSTRACT

We use the displacement operator to derive an infinite series of integer order derivatives for the Grünwald-Letnikov fractional derivative and show its correspondence to the Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives. We demonstrate that all three definitions of a fractional derivative lead to the same infinite series of integer order derivatives. We find that functions normally represented by Taylor series with a finite radius of convergence have a corresponding integer derivative expansion with an infinite radius of convergence. Specifically, we demonstrate robust convergence of the integer derivative series for the hyperbolic secant (tangent) function, characterized by a finite radius of convergence of the Taylor series $R=π/2$, which describes bright (dark) soliton propagation in non-linear media. We also show that for a plane wave, which has a Taylor series with an infinite radius of convergence, as the number of terms in the integer derivative expansion increases, the truncation error decreases. Finally, we illustrate the utility of the truncated integer derivative series by solving two linear fractional differential equations, where the fractional derivative is replaced by an integer derivative series up to the second order derivative. We find that our numerical results closely approximate the exact solutions given by the Mittag-Leffler and Fox-Wright functions. Thus, we demonstrate that the truncated expansion is a powerful method for solving linear fractional differential equations, such as the fractional Schrödinger equation.

연구 동기 및 목표

• 그룬발트-레트니코프, 리만-리오빌, 카푸토 분수도함수를 정수계수 미분의 공통된 무한급수 표현으로 통합하는 것.
• 유한한 테일러 급수 수렴반경을 갖는 함수에 대해 정수미분 급수 전개의 수렴 성질을 조사하는 것.
• 자르힌 정수미분 급수를 이용한 선형 분수미분방정식의 수치적 해법을 개발하고 검증하는 것.
• 자르힌 급수의 정확도와 효율성을 분수도함수와 분수미분방정식의 해에 대해 평가하는 것.

제안 방법

• 이동 연산자를 사용하여 그룬발트-레트니코프 분수도함수의 정수계수 미분 무한급수를 유도한다.
• 유도된 급수는 리만-리오빌 및 카푸토 분수도함수와 동치임을 보이며, 초기 조건 처리의 차이로 인해 하한 합산 지점만 다를 뿐이다.
• 무한급수의 자르기로 수치적으로 분수도함수를 근사하며, tanh(x), sech(x), sin(x) 등의 함수에서 수렴성을 테스트한다.
• 4차 룬게-쿠타 방법을 사용하여 상수 계수 및 변수 계수를 갖는 자르힌 분수미분방정식을 푼다.
• 정확한 해는 미타그레플레르 및 포크-브라이트 함수를 기준으로 수치 결과와 비교한다.
• 자르기 오차를 급수에 유지된 항의 수에 대한 함수로 측정하여 수렴성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그룬발트-레트니코프 분수도함수는 정확히 정수계수 미분의 무한급수로 표현될 수 있는가?
• RQ2 sech(x) 및 tanh(x)와 같은 함수에 대해 정수미분 급수의 수렴 성질은 테일러 급수와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 자르힌 정수미분 급수는 선형 분수미분방정식을 해결하는 데 정확하고 효율적인 수치적 방법을 제공하는가?
• RQ4 무한한 테일러 수렴반경을 갖는 함수에 대해 자르힌 급수의 항 수와 결과 오차 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 특히 가우시안 함수와 같은 함수에 대해 무한 정수미분 전개의 적용에 제한이 있는가?

주요 결과

• 그룬발트-레트니코프, 리만-리오빌, 카푸토 분수도함수 모두 동일한 정수계수 미분 무한급수에 해당하며, 초기 조건 처리의 차이로 인해 하한 합산 지점만 다를 뿐이다.
• R = π/2로 유한한 테일러 수렴반경을 갖는 함수들인 sech(x) 및 tanh(x)는 정수미분 급수 전개에서 무한한 수렴반경을 나타낸다.
• sin(x)에 대해 2항 자르기 시 평균 오차는 1%이며, 10항 자르기 시 오차는 0.01%로 감소한다.
• 자르힌 정수미분 급수는 상수 계수 및 변수 계수를 모두 갖는 선형 분수미분방정식을 성공적으로 해결하며, 정확한 해(미타그레플레르 및 포크-브라이트 함수 기반)와 수치적 해가 밀도 있게 일치한다.
• 변수 계수를 갖는 미분방정식에서 N=3 자르기 시 오차는 10%이지만, 동일한 자르기로 상수 계수 방정식을 풀 경우 오차는 1%에 불과하다.
• 가우시안 함수에서는 허미트 다항식의 팩토리얼 증가 및 진동 행동으로 인해 이 방법이 실패하며, 이는 전개의 보편성에 한계가 있음을 시사한다.