[논문 리뷰] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth, Sixth, Seventh and Eighth Multiplicities Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 02.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 L²([t,T]^k)에서 레전드르 다항식과 삼각급수를 활용하여 다중성 5에서 8까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용해 확장하는 새로운 방법을 제시한다. 이 방법은 단일한 극한 전이를 통해 평균 제곱수렴을 보장하며, 기존 이토 기반 방법에 비해 확장 과정을 크게 단순화시키고, 이토 확률미분방정식의 효율적 수치적 통합을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of fifth, sixth, seventh and eighth multiplicities based on the method of generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ Specifically, we mainly use multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series $(k=1,\ldots,8)$. The case of generalized multiple Fourier series in arbitrary complete orthonormal systems of functions in $L_2([t, T])$ is also considered for $k=1,\ldots,6$. Recently, expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicity $k,$ $k\in\mathbb{N}$ (the case of continuous weight functions and an arbitrary complete orthonormal system of functions in $L_2([t, T])$) have been obtained (Theorems 42, 44) but under one additional condition. The considered expansions converge in the mean-square sense and contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. Expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals turned out much simpler than appropriate expansions of iterated Ito stochastic integrals. We use expansions of the latter as a tool of the proof of expansions for iterated Stratonovich stochastic integrals. Iterated Stratonovich stochastic integrals are part of the Taylor-Stratonovich expansion for solutions of Ito stochastic differential equations. That is why the results of the article can be applied to the numerical integrations of Ito stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 다중성 5에서 8까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분에 대한 효율적이고 평균 제곱수렴하는 확장 방법 개발
• 기존의 낮은 다중성(예: k=2에서 4)에 대한 확장을 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용해 고차수로 일반화
• 임의의 완전 또는thonormal 체계와 L²-가중치 함수를 포함한 최소 조건 하에서 수렴성 확립
• 이전 방법들과는 달리 극한 전이의 수를 줄여 근사 과정을 단순화
• 타일러-스트라토노비치 전개를 통한 이토 확률미분방정식의 실용적 수치적 통합 가능화

제안 방법

• L²([t,T]^k)에서 정규직교 기저(예: 레전드르 다항식 및 삼각함수)를 사용한 일반화된 다중 푸리에 급수 활용
• 반복 스트라토노비치 적분을 정규직교 체계에 대한 투영을 통해 일반화된 다중 푸리에 급수로 확장하는 방법 적용
• 반복 이토 적분 전개를 기초 도구로 삼아 재귀적 증명 전략 수립
• 파르세발 항등식과 L²-노름 추정을 활용해 근사 오차를 유계화하고 수렴성 증명
• 잔여항 분석을 통해 고차수 적분을 다루는 새로운 기법 도입 및 p→∞일 때 L²-노름이 0으로 수렴함을 증명
• 트레이스 급수 수렴성과 점근적 추정(예: O(1/p^{1−ε}))를 활용해 극한 과정과 오차 감쇠 검증

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 5에서 8까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용해 평균 제곱수렴하는 방식으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 임의의 완전 또는thonormal 체계와 L²-가중치 함수를 포함한 최소 조건 하에서 수렴성은 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 이러한 확장의 평균 제곱수렴 속도는 무엇이며, 기존 이토 기반 확장과 비교해 어떻게 다를까?
• RQ4 이전 방법들이 다수의 극한 전이를 필요로 하는 데 비해, 극한 전이 수를 하나로 줄일 수 있는가?
• RQ5 절단 매개수 p→∞일 때, 확장의 잔여 오차가 L²-노름에서 어떻게 0으로 수렴하는가?

주요 결과

• 다중성 5에서 8까지의 반복 스트라토노비치 적분 확장은 단일한 극한 전이를 통해 L²-노름에서 수렴하며, 근사 과정이 크게 단순화된다.
• 다중성 5에서 8에 대해 확장의 평균 제곱오차는 임의의 ε>0에 대해 O(1/p^{1−ε})로 유계이며, 이 상수는 p에 의존하지 않는다.
• 임의의 완전 또는thonormal 체계와 L²([t,T]) 내의 가중치 함수를 포함한 최소 조건 하에서도 수렴성 달성
• 확장의 잔여항 ˆRp는 ||ˆRp||_{L²([t,T]^{k−2r})} → 0 (p→∞)를 만족하여 극한 과정의 타당성을 입증한다.
• 이 방법은 임의의 다중성 k∈N로 일반화 가능하며, 조건 (756) 또는 (725) 하에서 수렴성이 보장되어 이전 결과를 확장한다.
• 이전 확장에서 볼 수 있었던 다중 극한 연산의 복잡성 방지를 고려할 때 계산적으로 유리하다.