[논문 리뷰] Expansions for Quantiles and Multivariate Moments of Extremes for Distributions of Pareto Type

Saralees Nadarajah, Christopher S. Withers|ArXiv.org|2009. 03. 25.

Probability and Risk Models참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 파레토형 분포에서 극값 순서통계량의 분위수와 다변량 모멘트에 대한 渐近 전개를 개발한다. 역함수 정리( inversion theorem )를 사용하여 $ n $ 과 $ n^{-\beta/\alpha} $ 의 역수 거듭제곱에 대한 급수 전개를 유도한다. 주요 기여는 캐비, 스터디언트 $ t $, $ F $, 안정 분포 등과 같은 분포에 적용 가능한 일반적인 프레임워크를 제공함으로써, 명시적인 오차 한계를 동반한 극값에 대한 정밀한 모멘트 근사치를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $X_{nr}$ be the $r$th largest of a random sample of size $n$ from a distribution $F (x) = 1 - \sum_{i = 0}^\infty c_i x^{-α- i β}$ for $α> 0$ and $β> 0$. An inversion theorem is proved and used to derive an expansion for the quantile $F^{-1} (u)$ and powers of it. From this an expansion in powers of $(n^{-1}, n^{-β/α})$ is given for the multivariate moments of the extremes $\{X_{n, n - s_i}, 1 \leq i \leq k \}/n^{1/α}$ for fixed ${\bf s} = (s_1, ..., s_k)$, where $k \geq 1$. Examples include the Cauchy, Student $t$, $F$, second extreme distributions and stable laws of index $α< 1$.

연구 동기 및 목표

• 파워 법 꼬리를 갖는 분포에서 극값 순서통계량의 분위수와 다변량 모멘트에 대한 渐近 전개를 유도하기 위해.
• 기존의 극값 모멘트에 대한 渐近 결과를 주로 1차 근사치를 넘어서, $ n^{-1} $ 과 $ n^{-\beta/\alpha} $ 에 대한 고차항을 포함하도록 확장하기 위해.
• 캐비, 스터디언트 $ t $, $ F $, 그리고 인덱스 $ \alpha < 1 $ 인 안정 분포를 포함한 광범위한 체중 꼬리 분포의 클래스에 적용 가능한 일반적인 방법을 제공하기 위해.
• 분포 함수의 꼬리 행동과 분위수 함수 전개를 연결하는 엄밀한 역함수 정리를 수립하기 위해.

제안 방법

• 꼬리 전개 $ 1 - F(x) = x^{-\alpha} \sum_{i=0}^{\infty} c_i x^{-i\beta} $ 를 바탕으로, 분위수 함수 $ F^{-1}(u) $ 를 $ (1-u)^{\alpha_i} $ 에 대한 거듭제곱 급수로 표현하는 역함수 정리를 도출한다. 여기서 $ \alpha_i = (i\beta - 1)/\alpha $ 이다.
• 고차 모멘트를 계산하기 위해 벨 다항식과 생성함수를 사용하여 정규화된 극값 $ Y_{n,s} = X_{n,n-s}/n^{1/\alpha} $ 의 모멘트를 계산한다.
• 극값의 모멘트는 $ n^{-1} $ 과 $ n^{-\beta/\alpha} $ 의 거듭제곱으로 전개되며, 계수는 꼬리 전개의 $ c_i $ 매개변수로부터 유도된다.
• 재귀적 계수 계산을 통해 $ EY_{n,s} $, $ EY_{n,s_1}Y_{n,s_2} $, 및 $ \text{Covar}(Y_{n,s_1}, Y_{n,s_2}) $ 에 대한 명시적 전개를 $ O(n^{-3}) $ 까지 검증한다.
• 특정 분포에 대해 $ \alpha $, $ \beta $, $ c_i $ 를 식별함으로써 이 프레임워크를 적용하여 모멘트 전개를 직접 계산할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파워 법 꼬리를 갖는 분포에 대해 극값 순서통계량의 고차 모멘트 전개를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 분포의 꼬리가 $ 1 - F(x) \sim x^{-\alpha} \sum_{i=0}^{\infty} c_i x^{-i\beta} $ 를 만족할 때, 분위수 함수 전개의 구조는 어떠한가?
• RQ3 정규화된 극값 $ X_{n,n-s}/n^{1/\alpha} $ 의 모멘트는 $ n^{-1} $ 과 $ n^{-\beta/\alpha} $ 에 대해 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ4 이 방법은 스터디언트 $ t $, $ F $, 안정 분포와 같은 표준 체중 꼬리 분포에 체계적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 캐비 분포에 대해 $ EY_{n,s} $ 의 1차 전개는 $ s^{-1} - n^{-2}\pi^2(s+1) + O(n^{-3}) $ 이며, 여기서 $ Y_{n,s} = (\pi/n)X_{n,n-s} $ 이다.
• 캐비 분포에 대한 연합 제2모멘트 $ EY_{n,s_1}Y_{n,s_2} $ 는 $ (1 - n^{-1})(s_1 - 1)^{-1}s_2^{-1} - n^{-2}\pi^2 D_{2,{\bf s}}/3 + O(n^{-3}) $ 이며, 여기서 $ D_{2,{\bf s}} = (s_2 + 1)/(s_1 + 1) + s_1/s_2 $ 이다.
• 자유도가 $ N $ 인 스터디언트 $ t $ 분포의 경우 전개는 $ n^{-2/N} $ 의 거듭제곱을 포함하며, 첫 번째 수정 항은 $ n^{-2/N} $ 차수에서 나타난다.
• $ N > 2 $ 인 $ F $-분포의 경우 전개는 $ O(n^{-2a_0}) $ 까지 유효하며, 여기서 $ a_0 = \min(2/(N-2), 1) $ 이고, $ Y_{n,s} = X_{n,n-s}/(n c_0)^{1/\alpha} $ 이다.
• 인덱스 $ \alpha < 1 $ 인 안정 분포의 경우 전개로는 $ O(n^{-2}) $ 까지의 모멘트를 얻을 수 있으며, $ a = 1 $ 이고 첫 번째 수정 항은 $ n^{-1} $ 에서 나타난다.