[논문 리뷰] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series: Multiplicities 1 to 8 and Beyond

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|2017. 12. 27.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 L²([t,T]^k)에서 일반화된 다중 푸리에 급수를 활용하여 반복 스트라토노비치 확률적 적분의 다중성 1에서 8까지의 새로운 전개를 제시한다. 이는 레지온드르 및 삼각함수 체계를 모두 활용하며, 단일 한계 전이를 통해 평균 제곱수렴을 보장함으로써 비교적 비교적 높은 수치 효율성을 확보하여 비교적 비교적 높은 수치 효율성을 확보하여 다차원 이토 SDE의 수치적 해법에 유리하다.

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals on the basis of the method of generalized multiple Fourier series that converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ Expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals are obtained for the case of multiple Fourier-Legendre series and for the case of multiple trigonometric Fourier series $(k=1,\ldots,8)$. Recently, expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities $k=1,\ldots,6$ (the case of continuous weight functions and an arbitrary complete orthonormal system of functions in $L_2([t, T])$) have been obtained. These results are generalized to the case of multiplicitity $k,$ $k\in\mathbb{N}$ (Theorems 51, 53) but under one additional condition. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noises.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 다중 푸리에 급수를 활용하여 임의의 다중성 k에 대해 반복 스트라토노비치 확률적 적분을 전개하는 일반적인 방법을 개발하는 것.
• 기존의 다중성 1–6에 대한 결과를 k=7 및 k=8로 확장하고, 더 나아가 추적 급수 수렴 조건 하에 일반적인 k ∈ ℕ로 일반화하는 것.
• 기존 방법들과는 달리 단일 한계 전이만으로도 평균 제곱수렴을 확보함으로써 계산 효율성을 향상시키는 것.
• 레지온드르 및 삼각함수 푸리에 급수에 대해 명시적인 전개식을 제공하고, 수렴 속도 추정치를 제시하는 것.
• L²([t,T])에서의 임의의 완비 orthonormal 체계와 다양한 가중함수(상수 및 이항형 포함)로 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 반복 스트라토노비치 적분에 대해 L²([t,T]^k)에서 일반화된 다중 푸리에 급수 전개를 활용하는 것.
• 정규직교 체계(레지온드르 다항식 및 삼각함수)에 대한 일반화된 다중 푸리에 급수 방법을 적용하는 것.
• 계수 급수의 균일한 상한을 도출하기 위해 파르세발의 등식과 코시–부냐코프스키 부등식을 활용하는 것.
• 계수의 적분 표현과 주요 함수의 적분 가능성 조건을 이용하여 수렴 추정치를 유도하는 것.
• 기존 접근 방식에서 흔히 볼 수 있는 다중 한계 전이 과정을 피하기 위해 전개에 단일 한계 전이를 도입하는 것.
• 수학적 기대값이 p→∞일 때 적분과 그 전개 간의 차이의 제곱의 기대값이 0으로 수렴함을 증명함으로써 평균 제곱수렴을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 1에서 8까지의 반복 스트라토노비치 확률적 적분은 어떻게 일반화된 다중 푸리에 급수를 통해 전개할 수 있는가?
• RQ2 다중성 2에서 4에 대해 이 전개의 평균 제곱수렴 속도는 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ3 적절한 추적 급수 수렴 조건 하에 이 전개는 임의의 다중성 k ∈ ℕ로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 다양한 가중함수(예: 상수, 연속 미분 가능한 함수, 이항형)와 정규직교 체계에서 전개의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 임의의 정규직교 체계로 일반화할 때, 조건 ϕ₀(x) = 1/√(T−t)와 곱 ψₗψₗ₋₁의 적분 가능성 조건을 생략할 수 있는가?

주요 결과

• 다중성 k=1에서 8까지의 전개는 L²([t,T]^k)에서 평균 제곱수렴을 보이며, 단일 한계 전이를 통해 수렴이 확립된다.
• 다중성 2에서 4에 대해 평균 제곱수렴 속도는 p→∞일 때 O(p⁻¹)로 추정된다. 여기서 p는 잘라내기 인덱스이다.
• 관련 볼테라 유형의 적분 연산자의 추적 급수가 수렴하는 조건 하에, 이 방법은 임의의 k ∈ ℕ로 일반화될 수 있다.
• 파르세발의 등식과 코시–부냐코프스키 부등식을 활용하여 계수 급수의 균일한 상한을 도출하였으며, 이는 적분 가능한 주요 함수를 제공한다.
• 진짜 스트라토노비치 적분으로의 수렴이 수학적 기대값에서 증명되었으며, limₚ→∞𝔼|J* − ∑Cⱼ₁…ⱼₖ∏ζⱼₗ⁽ⁱˡ⁾| = 0 이다.
• ϕ₀(x) = 1/√(T−t) 및 ψₗψₗ₋₁ ∈ L²([t,T]) 등의 조건은 추가 가정 하에 생략 가능하여 적용 범위가 넓어진다.