[논문 리뷰] Expected signature of two dimensional Brownian Motion up to the first exit time of the domain

Terry Lyons, Hao Ni|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 31.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인의 경계에서 흡수되는 이차원 브라운 운동의 기대 서명이 타당한 타원형 PDE 시스템과 경계 조건을 만족함을 조사한다. 부드럽고 유계라는 조건 하에서, 재귀적 소볼레프 추정을 통해 서명 항의 기하학적 감쇠 경계를 도출할 수 있으나, 단위 원판조차도 서명 법칙의 완전한 결정은 아직 증명되지 않았다.

ABSTRACT

The signature of a path provides a top down description of the path in terms of its effects as a control [Differential Equations Driven by Rough Paths (2007) Springer]. The signature transforms a path into a group-like element in the tensor algebra and is an essential object in rough path theory. The expected signature of a stochastic process plays a similar role to that played by the characteristic function of a random variable. In [Chevyrev (2013)], it is proved that under certain boundedness conditions, the expected value of a random signature already determines the law of this random signature. It becomes of great interest to be able to compute examples of expected signatures and obtain the upper bounds for the decay rates of expected signatures. For instance, the computation for Brownian motion on $[0,1]$ leads to the ``cubature on Wiener space'' methodology [Lyons and Victoir, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 460 (2004) 169-198]. In this paper we fix a bounded domain $\Gamma$ in a Euclidean space $E$ and study the expected signature of a Brownian path starting at $z\in\Gamma$ and stopped at the first exit time from $\Gamma$. We denote this tensor series valued function by $\Phi_{\Gamma}(z)$ and focus on the case $E=\mathbb{R}^d$. We show that $\Phi_{\Gamma}(z)$ satisfies an elliptic PDE system and a boundary condition. The equations determining $\Phi_{\Gamma}$ can be recursively solved; by an iterative application of Sobolev estimates we are able, under certain smoothness and boundedness condition of the domain $\Gamma$, to prove geometric bounds for the terms in $\Phi_{\Gamma}(z)$. However, there is still a gap and we have not shown that $\Phi_{\Gamma}(z)$ determines the law of the signature of this stopped Brownian motion even if $\Gamma$ is a unit ball.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인에서 첫 번째 외부 시간에 정지하는 이차원 브라운 운동의 기대 서명을 특성화하는 것.
• 기대 서명 텐서 급수를 지배하는 타원형 PDE 시스템을 수립하는 것.
• 도메인의 부드러움과 유계성 조건 하에서 기대 서명의 항들에 대한 기하학적 감쇠 경계를 도출하는 것.
• 기대 서명이 정지된 브라운 운동의 서명 법칙을 완전히 결정하는지 조사하는 것.

제안 방법

• 기대 서명을 도메인 Γ 상에서 정의된 텐서 급수 값을 갖는 함수 ΦΓ(z)로 모델링하는 것.
• 브라운 운동의 생성자와 이토의 공식에 기반하여 ΦΓ(z)가 만족하는 타원형 PDE 시스템을 유도하는 것.
• 서명 전개에서 개별 텐서 성분의 성장률을 제어하기 위해 소볼레프 추정을 재귀적으로 적용하는 것.
• 도메인의 부드러움과 유계성 조건을 활용하여 서명 항의 감쇠율에 대한 균일한 제어를 확보하는 것.
• 텐서 대수에서 서명의 군 유사 성질을 활용하여 확률적 적분 하에서 시스템의 거동를 분석하는 것.
• 첫 번째 외부 시간 정지 규칙에서 유도되는 경계 조건을 분석하고, 이를 PDE 공식화와 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차원 브라운 운동의 첫 번째 외부 시간까지의 기대 서명은 경계 조건이 있는 잘 정의된 타원형 PDE 시스템을 만족하는가?
• RQ2 부드럽고 유계인 도메인 조건 하에서 기대 서명의 항들에 대해 기하학적 감쇠 경계를 설정할 수 있는가?
• RQ3 기대 서명이 정지된 브라운 운동의 서명 법칙을 어느 정도 결정하는가?
• RQ4 단위 원판과 같은 단순한 도메인에서도 기대 서명이 정지 경로의 서명 전반적인 분포를 재구성하는 데 충분한가?
• RQ5 소볼레프 추정은 고차 서명 성분의 성장률을 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• 기대 서명 ΦΓ(z)는 첫 번째 외부 시간 정지 규칙에서 유도된 경계 조건을 만족하는 타원형 PDE 시스템을 만족한다.
• 도메인 Γ의 부드러움과 유계성 조건 하에서, 재귀적 소볼레프 추정을 통해 ΦΓ(z)의 텐서 급수 전개의 항들에 대한 기하학적 감쇠 경계를 도출할 수 있다.
• 서명 성분의 감쇠율이 기하학적임이 입증되어, 텐서 항의 차수에 따라 지수 감쇠가 일어남을 시사한다.
• 이러한 경계가 존재하더라도, 논문은 ΦΓ(z)가 정지된 브라운 운동의 서명 법칙을 유일하게 결정한다는 것을 증명하지 못했다.
• 단위 구 영역조차도, 기대 서명이 전체 법칙을 결정한다는 것을 증명하는 데 있어 여전히 간극이 존재하며, 이 방법은 이를 메우지 못한다.