[논문 리뷰] Experimental Constructions of Binary Matrices with Good Peak-Sidelobe Distances

Jerod Michel|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 15.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 22인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 순환 행렬 내의 차이 집합과 거의 차이 집합을 활용하여 비정상적 자기상관에서 높은 피크-사이드로브 거리(peak-sidelobe distance)를 갖는 이진 행렬의 결정론적 구성 방법을 제안한다. 최적의 내부 순환 행렬을 1로 둘러싸서 작은 차원에서 near-optimal인 행렬을 생성하며, 이는 이론적 한계에 매우 가까운 피크-사이드로브 거리를 달성한다. 이러한 행렬에 대한 무한한 가족의 명시적 구성이 가능하다.

ABSTRACT

Skirlo et al., in 'Binary matrices of optimal autocorrelations as alignment marks' [Journal of Vacuum Science and Technology Series B 33(2) (2015) 1-7], defined a new class of binary matrices by maximizing the peak-sidelobe distances in the aperiodic autocorrelations and, by exhaustive computer searches, found the optimal square matrices of dimension up to 7 x 7, and optimal diagonally symmetric matrices of dimensions 8 x 8 and 9 x 9. We make an initial investigation into and propose a strategy for (deterministically) constructing binary matrices with good peak-sidelobe distances. We construct several classes of these and compare their distances to those of the optimal matrices found by Skirlo et al. Our constructions produce matrices that are near optimal for small dimension. Furthermore, we formulate a tight upper bound on the peak-sidelobe distance of a cer- tain class of circulant matrices. Interestingly, binary matrices corresponding to certain difference sets and almost difference sets have peak-sidelobe distances meeting this upper bound.

연구 동기 및 목표

• 비정상적 자기상관 특성을 갖는 이진 행렬, 특히 높은 피크-사이드로브 거리를 갖는 결정론적 구성 방법을 개발하기 위해.
• 최적의 행렬을 위한 체계적 컴퓨터 검색에 의존하는 Skirlo 등의 접근 방식을 초월하기 위해.
• 특히 차이 집합과 거의 차이 집합을 포함한 조합 설계와 최적의 이진 행렬 구성 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 순환 행렬의 일정한 클래스에 대해 피크-사이드로브 거리의 날카운 상한선을 수립하기 위해.
• 차이 집합과 거의 차이 집합에서 유도된 행렬이 이 상한선에 도달함으로써 near-optimality를 보여주기 위해.

제안 방법

• 정의 집합으로서 차이 집합 또는 거의 차이 집합을 사용하여 피크-사이드로브 거리가 높은 (M−2)×(M−2) 순환 이진 행렬을 구성하기 위해.
• 모든 네 면에 1로 이루어진 테두리를 추가하여 내부 행렬을 M×M 행렬으로 확장하기 위해.
• 내부 행렬의 구조적 성질을 유지함으로써 결과 행렬이 여전히 높은 피크-사이드로브 거리를 유지하도록 보장하기 위해 정리들을 활용하기 위해.
• 순환 군의 코스터와 대수적 수론을 적용하여 차이 집합 및 거의 차이 집합의 정의 집합 기반으로 행렬을 분석하고 구성하기 위해.
• 정의 집합이 차이 집합 또는 거의 차이 집합인 순환 행렬에 대해 피크-사이드로브 거리의 날카운 상한선을 유도하기 위해.
• 명시적 예제를 통해 구성 과정을 검증하고, 7차부터 19차까지의 행렬에 대해 피크-사이드로브 거리를 표로 정리하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체계적 검색이 아닌 결정론적 방법으로 피크-사이드로브 거리가 높은 이진 행렬을 구성할 수 있는가?
• RQ2 차이 집합 또는 거의 차이 집합으로 정의된 순환 이진 행렬에 대해 피크-사이드로브 거리의 가장 날카운 가능한 상한선은 무엇인가?
• RQ3 차이 집합과 거의 차이 집합에서 유도된 행렬이 이 이론적 상한선에 도달하는가?
• RQ4 결정론적 구성 방법은 Skirlo 등이 체계적 검색을 통해 확보한 최적의 피크-사이드로브 거리에 얼마나 가까이 다가갈 수 있는가?
• RQ5 이러한 행렬의 무한한 가족을 체계적으로 매개변수화하고 피크-사이드로브 거리를 해석적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 작은 차원에서 Skirlo 등이 보고한 최적 값에 매우 가까운 피크-사이드로브 거리를 갖는 무한한 가족의 정방형 이진 행렬을 구성한다.
• 9×9 행렬의 경우, 구성된 행렬은 피크-사이드로브 거리 28을 달성하였고, 최적 값 29에 매우 가까운 수준을 보인다. 이는 near-optimality를 시사한다.
• 7×7 행렬에 대해 피크-사이드로브 거리는 18, 13×13은 52, 14×14는 56, 15×15는 62, 17×17는 84, 19×19는 96로, 모두 최적에 매우 가까운 값을 기록한다.
• 이론적 분석 결과, Paley-Hadamard 유형의 (v, (v+1)/2, (v+1)/4)-차이 집합에서 유도된 이진 행렬은 유도된 피크-사이드로브 거리 상한선에 도달함을 보였다.
• (p, (p+1)/2, (p−1)/4, (p−1)/2)-거의 차이 집합을 이용한 소수 p≡1(mod 4)의 경우, 피크-사이드로브 거리가 (p+1)(⌊p²/(4(p−1))⌋+1)+5인 행렬을 생성할 수 있다.
• 논문은 차이 집합과 거의 차이 집합으로 정의된 순환 행렬에 대해 피크-사이드로브 거리의 날카운 상한선을 수립하였고, 일부 행렬이 정확히 이 상한선에 도달함을 보였다.