[논문 리뷰] Expert Opinions and Logarithmic Utility Maximization for Multivariate Stock Returns with Gaussian Drift

Jörn Saß, Dorothee Westphal외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 29.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 28인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 주식 드리프트에 대한 부분 정보를 가진 투자자를 위한 다변량 포트폴리오 최적화 프레임워크를 개발한다. 관측된 수익률과 이산적인 전문가 의견을 통합하여 필터링 역학을 유도하며, 조건부 공분산 행렬에 대해 행렬 리카티 미분방정식을 사용한다. 전문가 의견이 증가함에 따라 필터의 불확실성이 0으로 수렴하는 것을 증명하고, 최적의 로그 utility가 완전 정보 기준에 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper investigates optimal trading strategies in a financial market with multidimensional stock returns where the drift is an unobservable multivariate Ornstein-Uhlenbeck process. Information about the drift is obtained by observing stock returns and expert opinions. The latter provide unbiased estimates on the current state of the drift at discrete points in time. The optimal trading strategy of investors maximizing expected logarithmic utility of terminal wealth depends on the filter which is the conditional expectation of the drift given the available information. We state filtering equations to describe its dynamics for different information settings. Between expert opinions this is the Kalman filter. The conditional covariance matrices of the filter follow ordinary differential equations of Riccati type. We rely on basic theory about matrix Riccati equations to investigate their properties. Firstly, we consider the asymptotic behaviour of the covariance matrices for an increasing number of expert opinions on a finite time horizon. Secondly, we state conditions for the convergence of the covariance matrices on an infinite time horizon with regularly arriving expert opinions. Finally, we derive the optimal trading strategy of an investor. The optimal expected logarithmic utility of terminal wealth, the value function, is a functional of the conditional covariance matrices. Hence, our analysis of the covariance matrices allows us to deduce properties of the value function.

연구 동기 및 목표

• 비관측 다변량 드리프트를 따르는 금융 시장을 모델링할 것. 이 드리프트는 오르누슈타인-울렌벡 과정을 따른다.
• 현재 드리프트 상태의 비편향 추정치로 이산적인 전문가 의견을 도입하여 포트폴리오 결정을 개선할 것.
• 부분 정보 하에서 로그 utility 최적화를 통한 최적의 거래 전략을 유도할 것.
• 증가하는 전문가 의견에 따라 필터의 조건부 공분산 행렬의 渐近적 행동을 분석할 것.
• 전문가 의견 빈도가 증가함에 따라 가치 함수가 완전 정보 사례로 수렴하는 성질을 확립할 것.

제안 방법

• 드리프트를 차원 수 d인 오르누슈타인-울렌벡 과정으로 모델링하며, 확률적 동역학은 dµt = α(δ − µt)dt + β dBt 로 기술한다.
• 관측된 주식 수익률과 전문가 의견을 바탕으로 드리프트의 조건부 기대값(필터)을 계산하기 위해 칼만 필터링을 사용한다.
• 행렬 리카티 미분방정식을 이용해 필터 및 그 조건부 공분산 행렬의 연속시간 필터링 역학을 도출한다.
• 전문가 의견 도착 시점에서 이산시간 칼만 업데이트를 적용하여 필터를 정밀화하고 불확실성을 감소시킨다.
• 조건부 공분산 행렬의 스펙트럴 노름을 분석하여 시간이 지남에 따라 불확실성 감소 정도를 평가한다.
• 행렬 리카티 방정식 이론과 지배 수렴 정리를 활용하여 가치 함수가 완전 정보 기준에 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전문가 의견의 포함 여부가 다변량 설정에서 드리프트 필터의 조건부 공분산 행렬에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 전문가 의견 수가 증가함에 따라 필터의 불확실성(조건부 공분산 행렬)이 0으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 전문가 의견의 빈도가 증가함에 따라 최적 포트폴리오 전략의 가치 함수가 완전 정보 가치 함수로 수렴하는 방식은 어떻게 되는가?
• RQ4 무한 시간 영역에서 정규 간격으로 전문가 의견이 도착할 경우, 최적 기대 로그 utility의 극한 행동은 어떠한가?
• RQ5 다양한 투자자 유형(수익률 전용, 전문가 전용, 병합형)의 효율성은 전문가 의견 빈도에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 전문가 공분산 행렬이 유계일 경우, 유한 시간 영역에서도 전문가 의견 수 N → ∞ 일 때 필터의 조건부 공분산 행렬이 스펙트럴 노름에서 0으로 수렴한다.
• 무한 시간 영역에서 등간격 전문가 의견이 존재할 경우, 정리 4.10에 의해 모델 파라미터에 특정 조건이 충족되면 조건부 공분산 행렬이 0으로 수렴한다.
• 최종 자본의 최적 기대 로그 utility인 V C,N(x0)는 N → ∞ 일 때 완전 정보 기준인 V F(x0)로 수렴하며, 수렴 속도는 모델 파라미터에 따라 달라진다.
• 병합 투자자(수익률과 전문가 의견을 모두 사용)의 효율성 ρC,N은 N이 증가함에 따라 증가하고, N → ∞ 일 때 100%에 수렴하여 거의 최적의 성능임을 나타낸다.
• 모든 N에 대해 V R(1) ≤ V E,N(1) ≤ V C,N(1) ≤ V F(1) 이 성립하며, V C,N(1)과 V E,N(1)은 N이 증가함에 따라 단조로이 증가한다.
• 수치 결과에 따르면 N = 10,000명의 전문가 의견이 존재할 경우, 병합 투자자의 가치 함수 V C,N(1) = 1.4933은 완전 정보 가치 함수 V F(1) = 1.5358의 95.84%에 해당한다.