[논문 리뷰] Explicit and recursive estimates of the Lambert W function

Lajos Lóczi|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 13.

Sports Dynamics and Biomechanics참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 실수 분岐 W₀ 및 W₋₁에 대한 명시적 해석적 경계와 수렴이 보장되고 고정밀도 오차 추정이 가능한 재귀 알고리즘을 제시한다. 전체 정의역에서 수렴이 보장되는 증명 가능하게 수렴하는 시작 값과 함께 2차 수렴 속도를 갖는 재귀식을 도입하였으며, x^y = y^x의 해의 성장률에 관한 추측을 W₀를 통해 해결하였다.

ABSTRACT

Solutions to a wide variety of transcendental equations can be expressed in terms of the Lambert $\mathrm{W}$ function. The $\mathrm{W}$ function, occurring frequently in applications, is a non-elementary, but now standard mathematical function implemented in all major technical computing systems. In this work, we discuss some approximations of the two real branches, $\mathrm{W}_0$ and $\mathrm{W}_{-1}$. On the one hand, we present some analytic lower and upper bounds on $\mathrm{W}_0$ for large arguments that improve on some earlier results in the literature. On the other hand, we analyze two logarithmic recursions, one with linear, and the other with quadratic rate of convergence. We propose suitable starting values for the recursion with quadratic rate that ensure convergence on the whole domain of definition of both real branches. We also provide a priori, simple, explicit and uniform estimates on its convergence speed that enable guaranteed, high-precision approximations of $\mathrm{W}_0$ and $\mathrm{W}_{-1}$ at any point. Finally, as an application of the $\mathrm{W}_0$ function, we settle a conjecture about the growth rate of the positive non-trivial solutions to the equation $x^y=y^x$.

연구 동기 및 목표

• 큰 값에 대해 기존의 W₀ 분岐에 대한 해석적 경계를 향상시키기 위해.
• W₀ 및 W₋₁의 두 실수 분岐에 대해 전체 정의역에서 수렴이 보장되는 2차 수렴 속도를 갖는 재귀 알고리즘을 개발하기 위해.
• W₀ 및 W₋₁에 대한 고정밀도 근사에서 수렴 속도의 명시적이고 통일적이며 사전 추정 가능한 추정치를 제공하기 위해.
• x^y = y^x의 양의 비자명한 해의 성장률에 관한 추측을 W₀ 함수를 사용하여 해결하기 위해.

제안 방법

• 큰 x에 대해 W₀(x)에 대한 새로운 명시적 하한 및 상한 경계를 유도하여 이전 결과를 향상시켰다.
• 2차 수렴 속도를 갖는 로그 기반 재귀식을 분석하였으며, 두 실수 분岐에 대해 전역 수렴을 보장하는 시작 값들을 제안하였다.
• 점근 전개 및 푸아제 시리즈를 사용하여 初기 근사값과 오차 추정치를 도출하였다.
• x → ∞ 일 때 W₀(x)의 점근 전개에서 계수를 정의하기 위해 스틸링 사이클 수를 적용하였다.
• 수렴성과 오차 경계를 증명하기 위해 함수 부등식과 로그 변환을 사용하였다.
• 레마 및 명제에서 수렴 조건을 검증하기 위해 재귀 도함수 분석 및 급수 전개 기법을 활용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존에 알려진 바보다 더 날카운 W₀ 함수의 큰 값에 대한 더 강력한 명시적 해석적 경계는 무엇인가?
• RQ2 W₀ 및 W₋₁의 두 실수 분岐에 대해 전체 정의역에서 수렴이 보장되는 2차 수렴 속도를 갖는 재귀 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ3 W₀ 및 W₋₁의 재귀 근사에서 수렴 속도의 명시적이고 통일적이며 사전 추정 가능한 추정치는 무엇인가?
• RQ4 W₀ 함수를 어떻게 사용하여 x^y = y^x의 해의 성장률에 관한 추측을 해결할 수 있는가?

주요 결과

• x > e 에서 W₀(x)에 대한 새로운 명시적 경계는 이전 결과를 초월하며, 로그 항을 포함한 더 날카운 상한 및 하한 추정치를 제공한다.
• 전체 정의역에서 W₀ 및 W₋₁에 대해 수렴이 보장되는 2차 수렴 재귀식이 제안되었으며, 시작 값도 함께 제시되었다.
• 사전에 수렴 속도 추정치가 제공되어, 임의의 점에서 W₀ 및 W₋₁의 보장된 고정밀도 근사가 가능하다.
• 논문은 x^y = y^x의 양의 비자명한 해의 성장률이 y ~ x / W₀(x)로 점근적으로 동치임을 증명하였으며, 이는 추측을 해결한 것이다.
• x ≥ e 이고 임의의 양의 정수 m에 대해, 0 ≤ (ln(x) − W₀(x)) / W₀^m(x) ≤ 1 / (√(2m)) 이 성립하며, 더 날카운 경계 1 / (me) 또한 확립되었다.
• 레마 A.13 및 A.14는 W₀(x)의 2차 항을 초월하는 고차항 점근 근사의 타당성을 확인하였으며, 큰 x에 대해 정확도를 보장한다.