[논문 리뷰] Explicit Description of HARA Forward Utilities and Their Optimal Portfolios

Tahir Choulli, Junfeng Ma|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최소 헬링거 마링갈 밀도를 사용하여 반세마이팅겔 마켓 모델에서 HARA 유형의 프론트 유용성과 그 최적 포트폴리오를 완전하고 명시적으로 특성화한다. 유용성 매개변수와 최적 거래 전략에 대한 폐쇄형 역동성을 도출함으로써, 지수형 유용성 이외의 더 일반적인 HARA 계열로 프론트 유용성 이론을 확장하고, 명시적인 매개변수화와 포트폴리오 규칙을 제공한다.

ABSTRACT

This paper deals with forward performances of HARA type. Precisely, for a market model in which stock price processes are modeled by a locally bounded $d$-dimensional semimartingale, we elaborate a complete and explicit characterization for this type of forward utilities. Furthermore, the optimal portfolios for each of these forward utilities are explicitly described. Our approach is based on the minimal Hellinger martingale densities that are obtained from the important statistical concept of Hellinger process. These martingale densities were introduced recently, and appeared herein tailor-made for these forward utilities. After outlining our parametrization method for the HARA forward, we provide illustrations on discrete-time market models. Finally, we conclude our paper by pointing out a number of related open questions.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 반세마이팅겔 마켓 모델에서 HARA 유형의 프론트 성과 유용성에 대한 완전하고 명시적인 특성화를 제공하는 것.
• HARA 프론트 유용성을 정의하는 매개변수 D, p, D̄, D̂의 명시적 역동성을 도출하는 것.
• 각 HARA 프론트 유용성 클래스와 관련된 최적 포트폴리오를 특성화하는 것.
• 최소 헬링거 마링갈 밀도를 사용하여 지수형 유용성 이외의 더 넓은 HARA 계열로 프론트 유용성 이론을 확장하는 것.
• 이론 프레임워크를 이산 시간 마켓 모델에서 검증하고 향후 연구를 위한 열린 질문을 규명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 헬링거 과정에서 유도된 최소 헬링거 마링갈 밀도를 사용하여 HARA 프론트 유용성을 매개변수화하는 데 핵심 도구로 활용한다.
• D(t,x)·x^{p(t)} 또는 D̄(t) + D̂(t)·log(x) 형태의 HARA 프론트 유용성의 매개변수화를 수립하며, D, p, D̄, D̂에 대한 명시적 역동성을 제공한다.
• 이 방법은 양의 국소 마링갈 밀도 Z의 존재와 p ∈ (−∞,1)에 대해 공액 지수 q = p/(p−1)를 통한 쌍대 과정의 구성에 의존한다.
• 핵심 방정식은 최소 헬링거 밀도의 존재를 보장하기 위해 β̃를 구하는 것으로, b^Z + (p−1)cλ + ∫[(1+λ^T x)^{p−1}−1]xF^Z(dx) = 0 이다.
• 최적 포트폴리오는 요르의 공식과 Z̃ = E(∫H^Z dS + q(q−1)h^{(q)}(Z̃,Z))를 통한 표현을 통해 유도되며, 프론트 유용성과 최소 헬링거 과정을 연결한다.
• 이 프레임워크는 이산 시간 마켓 모델을 통해 검증되었으며, 국소 유계성 조건을 만족하는 일반적인 반세마이팅겔 설정으로 확장되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 반세마이팅겔 마켓 모델에서 HARA 유형의 프론트 유용성은 어떻게 명시적으로 매개변수화할 수 있는가?
• RQ2 HARA 프론트 유용성을 정의하는 매개변수 D(t), p(t), D̄(t), D̂(t)의 확률적 역동성은 무엇인가?
• RQ3 각 HARA 프론트 유용성 클래스에 대해 최적 포트폴리오 전략은 어떻게 명시적으로 유도할 수 있는가?
• RQ4 최소 헬링거 마링갈 밀도는 HARA 프론트 유용성을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 이전의 지수형 유용성에 기반한 연구와 어떻게 다를까, 그리고 어떻게 이를 확장하는가?

주요 결과

• 논문은 U(t,x) = D(t)x^{p(t)} 또는 U(t,x) = D̄(t) + D̂(t)log(x) 형태로 HARA 프론트 유용성을 명시적으로 매개변수화하며, D, p, D̄, D̂의 완전히 결정된 역동성을 제공한다.
• 각 HARA 프론트 유용성에 대한 최적 포트폴리오는 최소 헬링거 마링갈 밀도와 β̃를 포함하는 시스템의 해를 통해 명시적으로 특성화된다.
• 최소 헬링거 마링갈 밀도 Z̃는 Z̃^{q−1} = E(∫H^Z dS + q(q−1)h^{(q)}(Z̃,Z))를 만족함을 보여주며, 이는 유용성과 기초 마켓 역동성 간의 연결을 제공한다.
• 헬링거 과정 h^{(q)}(Z̃,Z)의 역동성은 명시적으로 유도되었으며, q(q−1)dh^{(q)}(Z̃,Z)는 반세마이팅겔의 확산 및 점프 성분으로 표현된다.
• 집합 {ΔA = 0}에서, q(q−1)dh^{(q)}(Z̃,Z)는 (p/2)β̃^T c β̃ dA + ∫[(1+β̃^T x)^p −1 − q(1+β̃^T x)^{p−1} + q]F^Z(dx)dA로 단순화된다.
• 이 프레임워크는 쿠올리 등(2011)의 지수형 프론트 유용성 프레임워크와 호환되지 않으며, 이는 위험 회피 과정의 차이 때문이 다.