[논문 리뷰] Explicit evaluation of harmonic sums

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 02.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 적분 표현을 사용하여 조화합, 교대 조화합, 오일러 형식의 합에 대한 명시적 폐형 평가를 제시한다. 이는 리만 제타 함수 값과 선형 합으로 표현된 이차 및 삼차 오일러 합에 대한 명시적 공식을 유도하고, 조화수와 제1종 스타링 수 사이의 새로운 관계를 수립한다.

ABSTRACT

In this paper, we obtain some formulae for harmonic sums, alternating harmonic sums and Stirling number sums by using the method of integral representations of series. As applications of these formulae, we give explicit formula of several quadratic and cubic Euler sums through zeta values and linear sums. Furthermore, some relationships between harmonic numbers and Stirling numbers of the first kind are established.

연구 동기 및 목표

• 적분 표현을 사용하여 일반화된 조화합, 교대 조화합, 스타링 수 합에 대한 명시적 공식을 유도하기.
• 이차 및 삼차 오일러 합을 리만 제타 함수 값과 선형 합으로 평가하기.
• 조화수와 제1종 스타링 수 사이의 새로운 대수적 관계 수립하기.
• 조화수와 교대 조화수를 포함하는 특정 오일러 형식 합의 폐형 평가 제공하기.

제안 방법

• 조화합을 평가하기 위해 시리즈의 적분 표현을 핵심 분석 기법으로 사용한다.
• 형식 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(m)}{n(n+k)}$ 및 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(m)}{n(n+k)}$의 합에 대해 폐형 표현을 도출하고, 제타 함수 값과 조화수로 표현한다.
• 階乗 및 제타 함수 항등식을 사용하여 제1종 스타링 수를 포함하는 합 $\sum_{n=p-1}^\infty \frac{S(n+1,p)}{n!n(n+k)}$를 평가한다.
• 기존의 교대 오일러 합 및 다이로그함수에 대한 결과를 활용하여 복잡한 합을 제타 함수 값과 로그 항의 조합으로 환원한다.
• 오일러 합의 무게와 차수 프레임워크를 활용하여 다양한 복잡도의 합을 체계적으로 분류하고 평가한다.
• 유도된 공식을 검증하기 위해 $\bar{S}_{1,0,3}$ 및 $\bar{S}_{0,1,3}$의 기존 평가 결과를 벤치마크로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형태 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(m)}{n(n+k)}$의 조화합은 적분 표현을 통해 폐형으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 교대 조화합과 더 높은 무게를 가진 오일러 합은 어떻게 제타 함수 값과 선형 합의 조합으로 환원될 수 있는가?
• RQ3 무한 급수의 맥락에서 조화수와 제1종 스타링 수 사이에 어떤 관계가 존재하는가?
• RQ4 조화수의 곱과 $n^{-p}$의 거듭제곱을 포함하는 이차 및 삼차 오일러 합에 대해 어떤 명시적 폐형 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ5 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(1)^2}{n^2}(-1)^{n-1}$ 은 제타 함수 값과 다이로그함수로 명시적으로 평가될 수 있는가?

주요 결과

• 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n^2(1)}{n^2}(-1)^{n-1} = -\frac{41}{16}\zeta(4) + 2\zeta(2)\ln^2 2 + \frac{1}{6}\ln^4 2 + \frac{7}{4}\zeta(3)\ln 2 + 4\text{Li}_4(\frac{1}{2})$ 는 명시적으로 평가되었다.
• 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n^2(1)}{n^3}(-1)^{n-1} = -4\text{Li}_4(\frac{1}{2})\ln 2 + \frac{19}{8}\zeta(4)\ln 2 + \zeta(2)\ln^3 2 - \frac{1}{6}\ln^5 2 + \frac{3}{8}\zeta(2)\zeta(3) - \frac{19}{32}\zeta(5)$ 는 폐형으로 유도되었다.
• 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{L_n(1)L_n(2)}{n}(-1)^{n-1} = \frac{61}{16}\zeta(4) - \frac{7}{8}\zeta(3)\ln 2 - \frac{1}{4}\zeta(2)\ln^2 2 - \frac{1}{6}\ln^4 2 - 4\text{Li}_4(\frac{1}{2})$ 는 명시적으로 계산되었다.
• 삼차 오일러 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^3}{n^5} = \frac{469}{32}\zeta(8) - 16\zeta(3)\zeta(5) + \frac{3}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) + \frac{11}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ 는 제타 함수 및 선형 합으로 평가되었다.
• 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n \zeta_n(2)}{n^5} = -\frac{343}{48}\zeta(8) + 12\zeta(3)\zeta(5) - \frac{5}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) - \frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ 는 폐형으로 표현되었다.
• 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2 \zeta_n(3)}{n^3} = \frac{9}{2}\zeta(3)\zeta(5) + \frac{3}{2}\zeta(2)\zeta^2(3) - \frac{443}{288}\zeta(8) - \frac{23}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta_n(2)}{n^6}$ 는 명시적으로 평가되었다.