[논문 리뷰] Explicit formulas for derivatives of tangent and cotangent and for Bernoulli and other numbers

Feng Qi|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 06.

Advanced Mathematical Identities인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Faa di Bruno의 공식과 복소해석학 기법을 사용하여 탄젠트 및 코탄젠트 함수의 고차 도함수에 대한 명시적 공식을 유도한다. 베르누이 수, 제노치 수, 오일러 다항식의 영점에서의 값, 그리고 짝수 정수에서의 리만 제타 함수 값에 대한 새로운 명시적 표현과 재귀 관계를 수립하며, 삼각함수 및 쌍곡함수의 사인 함수와 도함수 다항식에 대한 항등식도 제시한다.

ABSTRACT

In the paper, by induction, the Faa di Bruno formula, and some techniques in the theory of complex functions, the author finds explicit formulas for higher order derivatives of the tangent and cotangent functions as well as powers of the sine and cosine functions, obtains explicit formulas for two Bell polynomials of the second kind for successive derivatives of sine and cosine functions, presents curious identities for the sine function, discovers explicit formulas and recurrence relations for the tangent numbers, the Bernoulli numbers, the Genocchi numbers, special values of the Euler polynomials at zero, and special values of the Riemann zeta function at even numbers, and comments on five different forms of higher order derivatives for the tangent function and on derivative polynomials of the tangent, cotangent, secant, cosecant, hyperbolic tangent, and hyperbolic cotangent functions.

연구 동기 및 목표

• 탄젠트 및 코탄젠트 함수의 고차 도함수에 대한 명시적 공식을 유도하기.
• 베르누이 수, 제노치 수, 그리고 영점에서의 오일러 다항식 특수값에 대한 폐쇄형 표현을 확보하기.
• 짝수 정수에서의 리만 제타 함수 특수값에 대한 명시적 공식과 재귀 관계를 수립하기.
• 삼각함수 및 쌍곡함수의 사인 함수와 도함수 다항식에 대한 항등식을 탐색하고 제시하기.
• 탄젠트 함수의 고차 도함수에 대한 다섯 가지 서로 다른 형태를 비교하고 그 다항식적 구조를 분석하기.

제안 방법

• 탄젠트 및 코탄젠트를 포함하는 복합함수의 고차 도함수를 계산하기 위해 Faa di Bruno의 공식을 적용하기.
• 복소함수 이론의 기법을 사용하여 도함수와 특수함수의 구조적 성질를 도출하기.
• 도함수 패턴에서 유도된 귀납적 방법을 통해 베르누이 수와 제노치 수의 명시적 공식 유도하기.
• 사인 및余현 함수의 연속된 도함수에 대응하는 두 가지 특정 벨 다항식(제2종)을 식별하기.
• 탄젠트 수와 영점에서의 오일러 다항식 특수값에 대한 재귀 관계 유도하기.
• 탄젠트, 코탄젠트, secant, cosecant 및 그 쌍곡함수 형태의 도함수 다항식 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탄젠트 및 코탄젠트 함수의 n차 도함수에 대해 어떤 명시적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 도함수 구조를 활용하여 베르누이 수와 제노치 수를 명시적 공식 또는 재귀 관계로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 유도된 도함수 패턴으로부터 사인 함수에 어떤 항등식이 도출되는가?
• RQ4 짝수 정수에서의 리만 제타 함수 특수값은 무엇이며, 삼각함수 도함수로부터 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ5 고차 도함수에 대한 탄젠트 함수의 다섯 가지 서로 다른 형태는 어떻게 관련되어 있으며, 그 뒤에 숨겨진 다항식적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• Faa di Bruno의 공식과 복소해석학을 활용하여 탄젠트 및 코탄젠트 함수의 n차 도함수에 대한 명시적 공식을 유도하였다.
• 탄젠트 수, 베르누이 수, 제노치 수에 대한 새로운 재귀 관계와 폐쇄형 표현을 수립하였다.
• 영점에서의 오일러 다항식 특수값이 도출된 도함수 항등식을 통해 명시적으로 표현되었다.
• 짝수 정수에서의 리만 제타 함수에 대한 명시적 공식을 확보하였으며, 삼각함수 도함수와 연결지었다.
• 사인 및 여인수 함수의 연속된 도함수에 대응하는 두 가지 특정 벨 다항식(제2종)이 식별되었다.
• 탄젠트 함수의 고차 도함수에 대한 다섯 가지 다른 형태를 분석하여, 그 뒤에 숨겨진 다항식적 구조와 상호관계를 밝혀냈다.