[논문 리뷰] Explicit formulas for efficient multiplication in F_{3^{6m}}

Elisa Gorla, Christoph Puttmann외 1명|ArXiv.org|2007. 08. 22.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 유한체 𝔽₃⁶ᵐ 내에서 효율적인 곱셈을 위한 새로운 방법을 제안한다. 라그랑주 보간법을 기반으로 한 수정된 빠른 푸리에 변환(FFT)을 사용하여 𝔽₃ᵐ 곱셈의 수를 18에서 15로 감소시킨다. 이는 4차 단위근을 활용한 것이다. 이 방법은 𝔽₃²ᵐ 위에서 다항식 표현을 이용하고 평가점의 대칭성을 활용하여 곱셈 복잡도를 최소화하며, 소프트웨어 벤치마크에서 10%의 성능 향상을 달성한다.

ABSTRACT

Efficient computation of the Tate pairing is an important part of pairing-based cryptography. Recently with the introduction of the Duursma-Lee method special attention has been given to the fields of characteristic 3. Especially multiplication in F_{3^{6m}}, where m is prime, is an important operation in the above method. In this paper we propose a new method to reduce the number of F_{3^m} multiplications for multiplication in F_{3^{6m}} from 18 in recent implementations to 15. The method is based on the fast Fourier tranmsform and explicit formulas are given. The execution times of our software implementations for F_{3^{6m}} show the efficiency of our results.

연구 동기 및 목표

• Tate 페어링 계산의 핵심 연산인 𝔽₃⁶ᵐ 내 곱셈에 필요한 𝔽₃ᵐ 곱셈의 수를 줄이기.
• 기존 방법보다 곱셈 복잡도 측면에서 우수한 성능을 보이는 𝔽₃⁶ᵐ에 대한 명시적이고 효율적인 산술 공식 개발.
• 특히 5차 단위근이 존재하지 않는 상황에서, 특성 3인 유한체에 대해 FFT 기법을 적응시키기.
• m > 90인 암호 응용 분야에서 곱셈이 계산 비용을 지배하는 상황에서 성능 최적화.
• 소프트웨어에서 실현 가능한 공식을 제공하여 곱셈과 덧셈의 수를 모두 최소화하기.

제안 방법

• 𝔽₃⁶ᵐ의 원소를 𝔽₃²ᵐ 위의 차수 ≤2 다항식으로 표현하여 평가-보간 기반 다항식 곱셈을 가능하게 한다.
• 𝔽₃²ᵐ 내에 존재하는 원시 4차 단위근을 기반으로 한 평가점과 함께 라그랑주 보간법을 사용하여 필요한 𝔽₃²ᵐ 곱셈의 수를 다섯 개로 줄인다.
• 라디ックス-2 FFT 기법에서 유도된 4×4 DFT 행렬을 활용하여 추가 덧셈과 스칼라 연산의 수를 최소화한다.
• 5차 계수를 계산하기 위해 추가 평가점을 도입하여, 체에서 5차 단위근이 존재하지 않는 점을 보완한다.
• 계수의 대칭 조합을 사용하여 명시적 공식을 유도하며, 입력 계수의 합과 차수로부터 중간 곱셈 P₀에서 P₁₄를 계산한다.
• 최종 곱의 계수 c₀에서 c₅는 Pᵢ 항들의 선형 조합으로 재구성되며, 부호와 계수는 역 DFT 행렬에서 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝔽₃⁶ᵐ 내 곱셈에 필요한 𝔽₃ᵐ 곱셈의 수를 현재 기준 18 이하로 줄일 수 있는가?
• RQ2 특성 3인 유한체에 대해, 고차수 단위근이 존재하지 않는 상황에서도 FFT 기반 곱셈 기법을 적용할 수 있는가?
• RQ3 5차 단위근이 존재하지 않는 유한체에서 라그랑주 보간법과 DFT 기반 평가를 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 곱셈 복잡도를 줄이는 것이 암호 응용 소프트웨어 구현에서 성능 향상에 어느 정도 기여하는가?
• RQ5 특히 큰 m에 대해 곱셈과 덧셈 간의 상호 교환 비용을 최적화하여 총 계산 비용을 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 𝔽₃⁶ᵐ 내 곱셈에 필요한 𝔽₃ᵐ 곱셈의 수를 18에서 15로 줄여 곱셈 복잡도를 16.7% 감소시킨다.
• 이 방법은 𝔽₃²ᵐ 내에서 다섯 개의 곱셈만 사용하며, 각각은 𝔽₃ᵐ 내 세 개의 곱셈으로 구성되어 총 15개의 𝔾₃ᵐ 곱셈을 초래한다.
• 소프트웨어 구현 결과, 기존 방법 대비 최소 10%의 성능 향상이 확인되었으며, m > 90일 때 곱셈 비용이 덧셈 비용을 지배하는 상황에서 특히 유리하다.
• 4차 단위근의 사용은 5차 단위근이 존재하지 않는 경우에도 효율적인 FFT 기반 평가 및 보간을 가능하게 하며, 특히 홀수 m일 때도 유용하다.
• 모든 곱의 계수에 대한 명시적 공식이 제공되며, 14개의 중간 곱셈 P₀에서 P₁₄와 부호가 있는 계수를 포함한 선형 조합을 포함한다.
• DFT 행렬의 대칭성과 라디ックス-2 FFT 분해를 활용하여 덧셈 비용을 낮게 유지함으로써, 큰 확장 차수에 대해서도 실용적인 성능을 유지를 한다.