[논문 리뷰] Explicit identities for Lévy processes associated to symmetric stable processes

M. E. Caballero, Juan Carlos Pardo외 1명|ArXiv.org|2009. 11. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대칭 안정 과정을 라멘티 변환을 통해 유도한 초함수-안정 레비 과정—레비 과정의 일종으로, 가우스 초함수 함수를 포함한다. 이 과정들의 레비 조건을 특성화하고, 위너-홉프 분해를 도출하며, 첫 번째 통과 시간과 마지막 통과 시간의 명시적 공동 분포를 수립한다. 주요 결과로 다변수 밀도 함수와 잠재 핵함수를 초함수 함수를 통해 표현한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a new class of Lévy processes which we call hypergeometric-stable Lévy processes, because they are obtained from symmetric stable processes through several transformations and where the Gauss hypergeometric function plays an essential role. We characterize the Lévy measure of this class and obtain several useful properties such as the Wiener Hopf factorization, the characteristic exponent and some associated exit problems.

연구 동기 및 목표

• 대칭 안정 과정을 라멘티 표현을 통해 유도한 새로운 레비 과정의 클래스—초함수-안정 레비 과정—을 정의하고 특성화하기.
• 이 과정들의 레비 조건을 규명하고, 간격에 대한 정규성 및 척도 행동과 같은 경로 성질을 수립하기.
• 대칭 안정 레비 과정의 반경 과정과 관련된 레비 과정에 대해 명시적인 위너-홉프 분해 및 첫 번째 도달 시간과 마지막 통과 시간의 공동 분포를 도출하기.
• 레비 과정이 $ (-\infty,0) $ 에 진입할 때 정지된 경우의 잠재 핵함수를 초함수 함수를 통해 표현하기.

제안 방법

• 대칭 안정 레비 과정의 반경 과정 $ R_t = \|Z_t\| $ 에 라멘티 변환을 적용하여 레비 과정 $ \xi $ 를 구성하며, $ R_t = x \exp(\xi_{\tau(t x^{-\alpha})}) $ 를 만족한다. 여기서 $ \tau $ 는 $ \xi $ 의 지수 기능의 국소 시간의 역함수이다.
• 반경 과정의 척도성과 자가유사성 성질 및 라멘티 표현을 활용하여 도출된 초함수-안정 레비 과정의 레비 조건을 특성화한다.
• 라멘티 표현과 레비 과정의 변동 이론을 활용하여, 특히 마지막 통과 시간과 첫 번째 도달 시간을 이용해 위너-홉프 분해를 유도한다.
• 키프리아누 등과 밀라르의 결과를 활용하여, 마지막 통과 시간에서의 4중 법칙 밀도 공식을 도출하며, 밀도 표현에 가우스 초함수 함수 $ {}_2\mathcal{F}_1 $ 이 포함된다.
• $ (-\infty,0) $ 에 진입할 때 정지된 레비 과정의 잠재 핵함수는 $ (1 - e^{-2y})^{\alpha/2 - 1} $ 과 $ (e^{2z} - 1)^{\alpha/2 - 1} $ 를 포함하는 적분 표현을 통해 계산되며, 최종 표현은 초함수 함수를 포함한다.
• 레비 과정 잠재 측도는 $ \mathbb{E}_x[\sigma_1^{-}] = \mathbb{E}_{\log x}[\int_0^{T_0^-} e^{\alpha \xi_t} dt] $ 를 통한 시간 변화를 통해 유도되며, $ u^{d/2 - 1}(1 - u)^{\alpha/2 - 1} $ 를 포함하는 베타 유형 적분이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 안정 과정에서 파생된 초함수-안정 레비 과정의 레비 조건의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ2 대칭 안정 레비 과정의 반경 부분과 관련된 레비 과정에 대해 위너-홉프 분해를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 반경 과정과 그 관련 레비 과정에 대해 마지막 통과 시간, 향후 최소값, 오버슈트의 공동 분포는 무엇인가?
• RQ4 레비 과정이 $ (-\infty,0) $ 에 진입할 때 정지된 경우의 잠재 핵함수는 무엇이며, 특수 함수를 통해 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 1에 도달할 때 정지된 반경 과정의 잠재 측도는 기저 레비 과정의 잠재 핵함수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 초함수-안정 레비 과정의 레비 조건은 가우스 초함수 함수 $ {}_2\mathcal{F}_1\left(\frac{\alpha + d}{2}, \frac{\alpha}{2} + 1; \frac{d}{2}; \cdot \right) $ 를 포함하는 밀도를 통해 특성화되며, 감마 함수와 $ \sin(\alpha\pi/2) $ 를 포함하는 정규화 상수를 가진다.
• 레비 과정 $ \xi $ 에 대해 마지막 통과 시간에서의 4중 법칙이 도출되었으며, 밀도 표현에 $ (e^{2v} - 1)^{\alpha/2 - 1} $, $ (e^{2(w - u)} - 1)^{\alpha/2 - 1} $, $ (1 - e^{-2(x + v - y)})^{\alpha/2 - 1} $ 가 포함되고, 모두 초함수 함수와 곱해진다.
• 레비 과정이 $ (-\infty,0) $ 에 진입할 때 정지된 경우의 잠재 핵함수는 $ (1 - e^{-2y})^{\alpha/2 - 1} $, $ e^{(2 - d)z}(e^{2z} - 1)^{\alpha/2 - 1} $ 와 함께 이중 적분으로 표현되며, 상수 $ k $ 와 $ \Gamma(\alpha/2)^{-2} $ 를 포함하는 정규화가 있다.
• 반경 과정 $ R $ 이 1에 도달할 때 정지된 경우의 첫 번째 통과 시간 잠재 함수는 $ \mathbb{E}_x[\sigma_1^{-}] = k \frac{x^\alpha}{2\Gamma(\alpha)} \int_{x^{-2}}^1 u^{d/2 - 1}(1 - u)^{\alpha/2 - 1} du $ 로 주어지며, 베타 유형 적분이다.
• $(1/F_0, R_{L_b-}, R_{L_b}, F_{L_b})$ 의 공동 밀도는 $ v^{1 - d} $, $ yw^{1 - d - \alpha} $, $ u^{d - \alpha - 1} $, $ (y^2 - (bv)^{-2})^{\alpha/2 - 1} $ 와 함께 초함수 함수 $ {}_2\mathcal{F}_1\left(\frac{\alpha + d}{2}, \frac{\alpha}{2} + 1; \frac{d}{2}; (y/bw)^2\right) $ 를 포함하는 4중 법칙의 밀도로 유도된다.