[논문 리뷰] Explicit invariant measures for infinite dimensional SDE driven by Lévy noise with dissipative nonlinear drift I

Sergio Albeverio, Luca Di Persio외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 92인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴-반아흐 프레임워크에서 비선형 소산성 드리프트와 레비 노이즈에 의해 구동되는 무한차원 스토케스틱 편미분방정식(SPDE)의 해가 존재하고 유일함을 증명한다. 해를 정상성 성분과 점점 사라지는 임시 성분으로 분해하여, 시간이 무한히 흐를수록 $L^p$-노름에서 해가 수렴함을 보이며, 정상성 성분의 법칙이 유일한 불변 측도임을 규명한다. 이는 이전의 가우시안 노이즈 설정에서의 결과를 레비 노이즈 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We stu\dd y a class of nonlinear stochastic partial differential equations with dissipative nonlinear drift, driven by Lévy noise. Our work is divided in two parts. In the present part I we first define a Hilbert-Banach setting in which we can prove existence and uniqueness of solutions under general assumptions on the drift and the Lévy noise. We then prove a decomposition of the solution process in a stationary component and a component which vanishes asymptotically for large times in the $L^p-$sense, $p\geq1$. The law of the stationary component is identified with the unique invariant probability measure of the process. In part II we will exhibit the invariant measure as the limit of explicit invariant measures for finite dimensional approximants.

연구 동기 및 목표

• Hilbert-Banach 프레임워크에서 유계가 아닌 선형 및 비선형 드리프트 항의 다항식 성장을 다룰 수 있도록 형식화된 설정을 제공하여, 레비 노이즈와 비선형 소산성 드리프트를 갖는 SPDE의 해가 존재하고 유일함을 증명한다.
• 해 과정을 정상성 성분과 $L^p$-노름에서 渐진적으로 퇴화하는 성분으로 분해한다.
• 정상성 성분의 법칙이 전체 과정의 유일한 불변 확률 측도임을 규명한다.
• 제2부에서 불변 측도가 명시적인 유한차원 근사자들의 극한으로 나타남을 보이는 데 기초를 마련한다.

제안 방법

• 유계가 아닌 선형 및 비선형 드리프트 항의 다항식 성장을 다룰 수 있도록 허브르-반아흐 설정을 형식화한다.
• 비선형 드리프트 항에 대해 요시다 근사법을 적용하고, 유한차원 사영을 통해 이중색인 근사자들을 구성한다.
• 스토케스틱 콘볼루션 이론과 그론발 유형 추정을 적용하여 $L^p$-노름에서 해의 성장률을 통제한다.
• 근사자 $r^{(n)}_m$과 $v^{(n)}_m$이 $L^p(\Omega; C([0,T]; \mathcal{B}))$에서 정상 과정 $r$과 퇴화 과정 $v$로 수렴함을 증명한다.
• 균일한 유계와 컴팩턴스 추론을 통해 $\mathbb{E}|v(t)|^p$가 $t \to \infty$일 때 0으로 수렴함을 보인다.
• 정상성 성분 $r(t)$의 정상성과 불변 측도의 유일성에 기반하여 $\mathcal{L}(r(t))$가 전체 과정의 유일한 불변 측도임을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 노이즈와 비선형 소산성 드리프트를 갖는 무한차원 SPDE에 대해 유일한 불변 측도를 식별할 수 있는가?
• RQ2 해 과정이 정상성 성분과 시간이 무한히 흐를수록 $L^p$-노름에서 사라지는 임시 성분으로 분해될 수 있는가?
• RQ3 정상성 성분의 법칙이 과정의 유일한 불변 측도와 같은가?
• RQ4 특히 옴스타인-울렌베르크 과정과 레비 노이즈를 고려할 때, 유한차원 명시적 측도를 통해 불변 측도를 어떻게 근사할 수 있는가?

주요 결과

• 해 과정은 $X(t) = r(t) + v(t)$로 분해 가능하며, 이때 $r(t)$는 정상성 성분이고 $v(t)$는 모든 $p \geq 1$에 대해 $\lim_{t \to \infty} \mathbb{E}|v(t)|^p = 0$를 만족한다.
• 정상성 성분 $r(t)$의 법칙 $\mathcal{L}(r(t))$는 과정 $(X(t))_{t \geq 0}$의 유일한 불변 확률 측도이다.
• $r^{(n)}_m$과 $v^{(n)}_m$의 유한차원 근사자들이 모든 $T > 0$와 $p \geq 1$에 대해 $L^p(\Omega; C([0,T]; \mathcal{B}))$에서 $r$과 $v$로 수렴함이 입증된다.
• 증명은 그론발 유형 추정을 통한 균일 유계와 스토케스틱 콘볼루션 이론을 활용하여 노이즈 및 드리프트 항을 통제함에 기반한다.
• 임시 성분의 점점 퇴화하는 성질 덕분에 불변 측도가 초기 조건에 영향을 받지 않음을 보였다.
• 이전의 가우시안 노이즈 설정에서의 결과를 레비 노이즈 설정으로 일반화하였으며, 피츠휴-나구모 SPDE 및 스토케스틱 양자화 방정식과 같은 모델에 응용 가능성이 있다.