[논문 리뷰] Explicit rank-metric codes list-decodable with optimal redundancy

Venkatesan Guruswami, Carol Wang|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 코드율 $R$ 및 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $1 - R - \varepsilon$의 랭크 오류 비율까지 리스트 디코딩 가능한 선형 랭크-메트릭 코드의 최초의 명시적 구성법을 제시한다. 메시지 다항식을 선형대수적 리스트 디코더에서 유래한 구조적 부분공간을 피하는 철저히 선택된 $\mathbb{F}_h$-부분공간으로 제한함으로써, 저자들은 부분공간 설계와 부분공간-비적응 집합을 활용하여 최적의 부족함을 달성하고 다항식 리스트 크기를 확보한다.

ABSTRACT

We construct an explicit family of linear rank-metric codes over any field ${\mathbb F}_h$ that enables efficient list decoding up to a fraction $ρ$ of errors in the rank metric with a rate of $1-ρ-ε$, for any desired $ρ\in (0,1)$ and $ε> 0$. Previously, a Monte Carlo construction of such codes was known, but this is in fact the first explicit construction of positive rate rank-metric codes for list decoding beyond the unique decoding radius. Our codes are subcodes of the well-known Gabidulin codes, which encode linearized polynomials of low degree via their values at a collection of linearly independent points. The subcode is picked by restricting the message polynomials to an ${\mathbb F}_h$-subspace that evades the structured subspaces over an extension field ${\mathbb F}_{h^t}$ that arise in the linear-algebraic list decoder for Gabidulin codes due to Guruswami and Xing (STOC'13). This subspace is obtained by combining subspace designs contructed by Guruswami and Kopparty (FOCS'13) with subspace evasive varieties due to Dvir and Lovett (STOC'12). We establish a similar result for subspace codes, which are a collection of subspaces, every pair of which have low-dimensional intersection, and which have received much attention recently in the context of network coding. We also give explicit subcodes of folded Reed-Solomon (RS) codes with small folding order that are list-decodable (in the Hamming metric) with optimal redundancy, motivated by the fact that list decoding RS codes reduces to list decoding such folded RS codes. However, as we only list decode a subcode of these codes, the Johnson radius continues to be the best known error fraction for list decoding RS codes.

연구 동기 및 목표

• 유일한 디코딩 반경을 초월하여 리스트 디코딩 가능한 명시적 고율 랭크-메트릭 코드를 구성하기.
• gabidulin 코드에서 큰 체의 크기 문제를 해결하기 위해 부분공간-비적응 하위코드를 사용하기.
• 서브스페이스 코드와 접히는 레이드-솔로몬 코드에 대한 해밍 메트릭 리스트 디코딩으로 이 구성법을 확장하기.
• 최적의 부족함을 갖춘 리스트 디코딩 가능한 코드에 대한 이전 몬테카를로 구성법의 명시적 대안을 제공하기.
• 정보 이론적 한계에 가까운 랭크-메트릭 코드의 최초의 명시적 구성법을 확립하기, 이는 최소 거리의 절반 이상의 오류를 처리할 수 있다.

제안 방법

• 선형대수적 리스트 디코더에서 유래한 구조적 부분공간을 피하는 $\mathbb{F}_h$-부분공간에 메시지 다항식을 제한함으로써, gabidulin 코드의 명시적 하위코드를 구성하기.
• Guruswami와 Kopparty (FOCS'13)의 부분공간 설계를 사용하여 후보 리스트 디코더 출력과의 교차를 제어하기.
• Dvir와 Lovett (STOC'12)의 부분공간-비적응 다양체를 통합하여 하위코드가 디코더의 출력 부분공간과의 교차가 작다는 것을 보장하기.
• 낮은 접힘 순서를 갖는 접히는 레이드-솔로몬 코드에 이 구성법을 적용하여 해밍 메트릭에서 최적의 부족함을 갖는 리스트 디코딩을 달성하기.
• 접히는 RS 코드의 리스트 디코딩이 낮은 접힘 순서를 갖는 하위코드의 리스트 디코딩으로 환원된다는 사실을 활용하기.
• 최종 리스트가 차원 $O(s^2/\varepsilon^2)$ 인 $\mathbb{F}_h$-부분공간에 포함되도록 보장하기, 여기서 $s$는 오류 비율을 제어하고 $\varepsilon$는 비율 손실을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유일한 디코딩 반경을 초월하여 리스트 디코딩 가능한 명시적 고율 랭크-메트릭 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 몬테카를로 방법 대신 명시적 구성법을 사용하여 리스트 디코딩 랭크-메트릭 코드에서 최적의 부족함을 달성할 수 있는가?
• RQ3 동일한 기법을 서브스페이스 코드와 접히는 레이드-솔로몬 코드에 확장하여 해밍 메트릭 리스트 디코딩을 위한 응용이 가능한가?
• RQ4 부족함 $1 - R - \varepsilon$ 를 갖는 명시적 리스트 디코딩 가능한 랭크-메트릭 코드에서 달성 가능한 최소 리스트 크기는 얼마인가?
• RQ5 부분공간-비적응 집합을 사용하여 오류 비율 $1 - R - \varepsilon$ 에 대해 다항식 $\text{poly}(1/\varepsilon)$ 리스트 크기를 갖는 코드를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 rate $(1 - \varepsilon)k/n$ 과 리스트 디코딩 반경 $s(n - k)/(s + 1)$ 랭크 오류를 갖는 gabidulin 코드의 $\mathbb{F}_h$-선형 하위코드를 명시적으로 구성한다.
• 최종 리스트는 $O(s^2/\varepsilon^2)$ 차원의 $\mathbb{F}_h$-부분공간에 포함되어 있어 다항식 리스트 크기를 보장한다.
• 구성법은 $s$ 가 증가함에 따라 정보 이론적 한계인 $1 - R$ 에 가까워지는 리스트 디코딩 반경을 달성한다.
• 서브스페이스 코드의 경우, 접힘 없이도 고율, 리스트 디코딩 가능한 코드의 최초의 명시적 구성법을 제공한다.
• 낮은 접힘 순서를 갖는 접히는 레이드-솔로몬 코드에 적용되었을 때, 최적의 부족함을 갖는 리스트 디코딩 가능 하위코드를 얻을 수 있다.
• 이전의 명시적 코드들이 다항식적으로 작은 비율만 달성한 데 비해, 본 구성법은 더 나은 성능을 보이며 몬테카를로 구성법의 결정론적 대안을 제공한다.