[논문 리뷰] Explicit solution for a two--phase fractional Stefan problem with a heat flux condition at the fixed face

Sabrina Roscani, Domingo A. Tarzia|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 23.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 43인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고정된 경계에서 열류 조건을 가지며, 0 < α < 1 인 Caputo 시간 분수도를 갖는 半無限 영역에서의 두상 분수 스테파노 문제에 대한 명시적 해석적 해를 제시한다. Wright 및 Mainardi 함수를 이용하여 유사성 해를 유도하고, 추측을 통해 열류 조건과 온도 조건 문제 사이의 등가성을 확립하며, α → 1 일 때 고전적 Neumann 해를 회복한다.

ABSTRACT

A generalized Neumann solution for the two-phase fractional Lam\'e--Clapeyron--Stefan problem for a semi--infinite material with constant initial temperature and a particular heat flux condition at the fixed face is obtained, when a restriction on data is satisfied. The fractional derivative in the Caputo sense of order $\al \in (0,1)$ respect on the temporal variable is considered in two governing heat equations and in one of the conditions for the free boundary. Furthermore, we find a relationship between this fractional free boundary problem and another one with a constant temperature condition at the fixed face and based on that fact, we obtain an inequality for the coefficient which characterizes the fractional phase-change interface obtained in Roscani--Tarzia, Adv. Math. Sci. Appl., 24 (2014), 237-249. We also recover the restriction on data and the classical Neumann solution, through the error function, for the classical two-phase Lam\'e-Clapeyron-Stefan problem for the case $\al=1$.

연구 동기 및 목표

• 고정면에서 열류 조건을 갖는 두상 분수 Lamé–Clapeyron–Stefan 문제에 대한 명시적 일반화된 Neumann 해를 유도하는 것.
• 고정면에서 열류 조건을 갖는 분수 자유경계 문제와 일정한 온도 조건을 갖는 문제 사이의 관계를 설정하는 것.
• α = 1 일 때 고전적 두상 스테파노 문제(α = 1)를 극한 경우로 회복하여 오차 함수를 통해 알려진 Neumann 해를 재구성하는 것.
• 등가성 결과를 바탕으로, 온도 경계 조건 문제에서 상변화 경계를 특징짓는 계수에 대한 부등식을 도출하는 것.
• 초기 온도를 융해 온도와 동일하게 설정함으로써, 한상 분수 스테파노 문제들이 이 연구에서 제시된 두상 모델의 특수한 경우임을 보여주는 것.

제안 방법

• 고체 및 액체 상의 열 방정식에 대해 시간 변수에 대한 Caputo 분수도 α ∈ (0, 1) 를 사용하여 두상 분수 스테파노 문제를 수립한다.
• 유사성 변수를 적용하여 자유 경계 조건을 갖는 상미분 방정식계로 문제를 축소한다.
• Wright 함수와 Mainardi 함수를 사용하여 특수 함수의 형태로 명시적 해를 표현한다.
• 해결책의 유사성 틀 내에서 열류 조건과 온도 조건 문제 사이의 등가성을 확립하기 위해 추측을 도입한다.
• 자유 경계 위치를 계수 µα 를 통해 결정하는 데 핵심적인 식 (56)을 유도한다.
• 분수 해의 극한을 취하여 고전적 경우(α = 1)를 회복하며, 고전 문제의 오차 함수 해로 수렴하는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정면에서 열류 조건을 갖는 두상 분수 스테파노 문제에 대해 일반화된 Neumann 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정면에서 열류 조건을 갖는 분수 자유경계 문제와 일정한 온도 조건을 갖는 문제 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 α → 1 일 때 분수 해의 극한 행동은 어떠하며, 고전적 Neumann 해를 회복하는가?
• RQ4 등가성 결과를 바탕으로, 온도 경계 조건 문제에서 상변화 경계를 특징짓는 계수에 대한 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 연구에서 제시된 두상 모델과 한상 분수 스테파노 문제 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• x = 0 에서 열류 조건을 갖는 두상 분수 스테파노 문제에 대해 Wright 및 Mainardi 함수를 통해 표현된 명시적 해가 도출되었다.
• 자유 경계 s(t) 가 t^{α/2} 비례함을 만족하며, 계수 µα 는 Mainardi 함수를 포함하는 비선형 방정식에 의해 결정된다.
• α = 1 일 때 해는 오차 함수를 포함하는 고전적 Neumann 해로 축소되며, 식 (9)의 데이터 제약 조건이 복원된다.
• 저자들은 추측을 제기하였으며, 이가 참이라면 해석적 해 틀 내에서 열류 조건과 온도 조건 문제 사이의 등가성을 의미한다.
• 온도 경계 조건 문제에서 경계를 특징짓는 계수 ξα 에 대한 부등식 (62) 가 도출되었으며, 이는 열류 계수 q0 와 연결된다.
• 초기 온도 Ti 를 융해 온도 Tm 과 동일하게 설정함으로써, [25] 에서 제시된 한상 분수 스테파노 문제들이 특수한 경우로 복원된다.