[논문 리뷰] Explicit Solution of Infinite-Horizon Linear Backward Stochastic Volterra Integral Equations

Samia Yakhlef, Hilel Ardjan|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 16.

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한 줄 요약

이 논문은 선형 backward stochastic Volterra integral equations에 대한 명시적 해 이론을 무한 수평으로 확장하고, 무한 수평 해상에서의 resolvent kernel을 구성하며 Girsanov 변환을 통해 해의 구성요소들에 대한 Malliavin 기반 표현을 제공한다.

ABSTRACT

We study linear backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs) on the infinite time horizon. By introducing weighted function spaces with exponential decay, we establish existence and uniqueness of adapted M-solutions. We construct an infinite-horizon resolvent kernel and derive explicit formulas for the solution components (Y,Z,K) using a Girsanov transformation and Hida-Malliavin calculus. The results extend the finite-horizon theory of Hu and Oksendal to the infinite horizon framework.

연구 동기 및 목표

• 무한 수평에서 기억(memory)이 있는 역방향 확률적 볼테라 적분방정식 연구를 동기 부여한다.
• 가중된 지수적으로 감소하는 공간에서 적응된 M-해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 무한 수평 resolvent kernel과 측도 변환을 이용하여 (Y,Z,K)의 명시적 해 표현을 도출한다.
• Hu와 Øksendal의 유한-수평 결과를 무한 수평 설정으로 확장한다.
• 변환된 측도 하에서 Z 및 K 성분에 대한 Malliavin calculus 기반 표현을 제공한다.

제안 방법

• 무한 수평 적분 가능성을 다루기 위해 지수적 감소를 갖는 가중 함수공간을 도입한다.
• 무한 수평 resolvent kernel Psi(t,s)를 Psi = sum Phi^(n) 의 급수로 구성하고 수렴성을 증명한다.
• 드리프트에서 Z와 K를 제거하기 위해 Girsanov 변환을 적용하여 동등한 측도 Q를 정의한다.
• Equation (5)에서와 같이 Q하의 조건부 기대와 resolvent kernel를 이용하여 Y(t)의 명시적 표현을 얻는다.
• Clark–Ocone 형 Malliavin 표현을 사용하여 Q하에서 Z(t,s) 및 K(t,s,ζ)를 표현한다 (Equations (7)-(8)).
• Deterministic 계수의 간소화로 Z 및 K 표현이 단순해진다 (Corollary 3.7).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메모리 효과가 있는 무한 시간 구간에서 선형 BSVIE를 어떻게 풀 수 있는가?
• RQ2 무한 수평 resolvent kernel을 구성하고 이를 이용하여 명시적 해 공식을 얻을 수 있는가?
• RQ3 이 설정에서 Malliavin calculus와 Girsanov 변환이 Z와 K에 대한 명시적 표현을 어떻게 제공합니다?
• RQ4 가중 지수적 감소 공간에서 존재성, 유일성, 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 결과가 Hu와 Øksendal의 유한-수평 이론과 어떻게 연관되며 이를 무한 수평으로 확장하는가?

주요 결과

• 지수적 감소를 갖는 가중 공간에서 적응된 M-해가 존재하고 유일하다.
• 무한 수평 resolvent kernel Psi(t,s)가 반복 커널 Phi^(n)의 균일하게 수렴하는 급수로 구성된다.
• Y(t)는 변환된 측도 Q 하에서 명시적 표현을 갖는다 (Equation (5)).
• Z(t,s)와 K(t,s,ζ)는 Q 하에서 명시적 Malliavin 표현을 갖는다 (Equations (7)-(8)).
• Deterministic 계수의 간소화로 Z 및 K 표현이 단순해진다 (Corollary 3.7).
• 결과는 Hu와 Øksendal의 유한-수평 이론을 무한 수평으로 확장한다.