[논문 리뷰] Explicit solutions for a series of classical optimization problems with 2-dimensional control via convex trigonometry

A. A. Ardentov, L. V. Lokutsievskiy외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 21.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 볼록 컴acts 제어 집합 Ω에 대해 일반화된 2차원 최적 제어 문제의 명시적 해를 볼록 삼각법을 이용해 제시한다. 이는 다양한 기하학적 및 기계적 제어 문제를 하나의 분석적 프레임워크로 통합하는 데 기여한다. 초등 기하학적 해를 초월해, 쌍곡 평면의 히피어르드 기하학, 유모듈라 3차원 리 군에서의 서브-핀슬 기하학, 굴러가는 공 문제, 일반화된 요트 문제, 그리고 동적 운동 문제에 대한 닫힌 형태의 해를 도출한다.

ABSTRACT

We consider a series of optimal control with 2-dimensional control lying in an arbitrary convex compact set $\Omega$. We write explicitly solutions to these by using machinery of convex trigonometry, which allows us to do this uniformly and independently on the shape of $\Omega$. The paper includes (i) geodesics in the Finsler problem on the Lobachevsky hyperbolic plane; (ii) left-invariant sub-Finsler geodesics on all unimodular 3D Lie groups ($\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SL}(2)$, $\mathrm{SE}(2)$, $\mathrm{SH}(2)$); (iii) the problem of rolling ball on a plane with distance function given by $\Omega$; (iv) a series of yacht problems generalizing Euler's elastic problem, Markov-Dubins problem, Reeds-Shepp problem and a new sub-Riemannian problem on $\mathrm{SE}(2)$; and (v) plane dynamic motion.

연구 동기 및 목표

• 임의의 볼록 컴acts 집합 Ω 내에서 2차원 제어를 갖는 최적 제어 문제를 해결하기 위한 통일된 분석적 프레임워크를 개발하는 것.
• 볼록 삼각법의 적용 범위를 다양한 기하학적 및 기계적 제어 문제로 확장하는 것.
• 쌍곡 평면의 핀슬 기하학에서 기하학적 최단 경로의 명시적 해를 도출하는 것.
• SU(2), SL(2), SE(2), SH(2)와 같은 유모듈라 3차원 리 군에서의 좌-불변 서브-핀슬 문제를 통합적으로 해결하는 것.
• 클래식한 문제들인 오일러의 탄성 문제, 마르코프-두빈스 문제, 리드스-시프 문제를 더 넓은 범위의 동적 운동 및 굴러가는 공 문제로 일반화하는 것.

제안 방법

• 제어 집합 Ω의 기하학적 형태에 관계없이 통일적으로 제어 집합을 매개변수화하기 위해 볼록 삼각법을 활용하는 것.
• Ω의 지지 함수와 게이지 함수를 사용해 제어 방향과 크기의 삼각함수적 유사체계를 정의하는 것.
• 볼록 삼각함수 항등식을 활용해 폰트리아긴 최대원리에 기반한 극값 궤적의 명시적 표현을 유도하는 것.
• 해밀토니안 시스템을 볼록 삼각함수로 표현되는 삼각함수적 위상공간으로 매핑하는 것.
• 군의 구조와 좌-불변성의 특성을 이용해 특정 리 군에 대해 이 방법을 적용함으로써 문제를 2차원 제어 문제로 축소하는 것.
• 접촉 제약 조건의 볼록 삼각함수 매개변수화를 통해 거리 함수를 모델링함으로써 굴러가는 공 문제의 해를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록 삼각법에 기반한 단일 분석적 프레임워크로 임의의 볼록 제어 집합을 가진 다양한 2차원 최적 제어 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 유모듈라 3차원 리 군에서의 서브-핀슬 기하학적 최단 경로는 볼록 삼각함수 도구를 통해 어떻게 명시적으로 매개변수화할 수 있는가?
• RQ3 리드스-시프 문제 및 마르코프-두빈스 문제와 같은 클래식한 문제들은 얼마나 넓은 범위로 통합된 볼록 삼각함수 형태로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 일반적인 볼록 거리 함수 Ω를 가진 굴러가는 공 문제는 이 방법을 통해 명시적으로 해결할 수 있는가?
• RQ5 볼록 삼각법은 평면에서의 동적 운동 문제에 대해 명시적 해를 유도하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 볼록 삼각법을 활용해 로바체프스키 쌍곡 평면의 핀슬 메트릭에서 기하학적 최단 경로에 대한 명시적, 닫힌 형태의 해를 도출한다.
• 모든 유모듈라 3차원 리 군, 즉 SU(2), SL(2), SE(2), SH(2)에서의 좌-불변 서브-핀슬 기하학적 최단 경로에 대해 통일적으로 명시적 해를 제공한다.
• 일반적인 볼록 거리 함수 Ω를 가진 굴러가는 공 문제를 2차원 제어 문제로 축소하고 볼록 삼각함수 매개변수화를 적용함으로써 명시적으로 해결한다.
• 오일러의 탄성 문제와 리드스-시프 문제를 포함한 일반화된 요트 문제들이 제안된 프레임워크 내에서 통합되고 명시적으로 해결된다.
• 이 방법을 통해 제어 집합 Ω의 볼록 삼각함수 표현을 통해 궤적을 기술함으로써 평면 내 동적 운동 문제의 명시적 해를 도출할 수 있다.
• 이 접근법은 Ω의 구체적 형태에 독립적이며, 다양한 기하학적 및 제어 제약 조건을 가진 문제들에 대해 단일 방법으로 통일적으로 해결할 수 있다.