[논문 리뷰] Explicit Teichmüller curves with complemetary series

Carlos Matheus, Gabriela Weitze-Schmithüsen|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 02.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $k \geq 3$ 인 모든 $k$ 에 대해 명시적인 산술 테이히뮐러 곡선 $Τ_{2k}$ 를 구성하며, 이는 $Σλ(2,\mathbb{R})$-불변 확률 측도 $μ_{2k}$ 를 지닌다. 이에 따라 $L^2$-표현이 보완 급수를 나타내며, 이는 임의로 작은 스펙트럴 갭과 따라서 테이히뮐러 지오데식 플로우의 임의로 느린 지수 혼합 속도를 암시한다.

ABSTRACT

We construct an explicit family of arithmetic Teichmüller curves $\mathcal{C}_{2k}$, $k\in\mathbb{N}$, supporting $ extrm{SL}(2,\mathbb{R})$-invariant probabilities $μ_{2k}$ such that the associated $ extrm{SL}(2,\mathbb{R})$-representation on $L^2(\mathcal{C}_{2k}, μ_{2k})$ has complementary series for every $k\geq 3$. Actually, the size of the spectral gap along this family goes to zero. In particular, the Teichmüller geodesic flow restricted to these explicit arithmetic Teichmüller curves $\mathcal{C}_{2k}$ has arbitrarily slow rate of exponential mixing.

연구 동기 및 목표

• 모든 $k \geq 3$ 에 대해 $Σλ(2,\mathbb{R})$-불변 측도 $μ_{2k}$ 를 지닌 명시적인 산술 테이히뮐러 곡선 $\mathcal{C}_{2k}$ 를 구성하는 것.
• 측도 $μ_{2k}$ 에 대한 $L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 상의 $Σλ(2,\mathbb{R})$-표현이 보완 급수를 수용함을 보이는 것.
• 표현의 스펙트럴 갭이 $k$ 가 증가함에 따라 0으로 수렴함을 보이며, 이는 임의로 느린 혼합을 암시한다.
• 스펙트럴 갭이 소멸하는 구체적이고 명시적인 예시 가족을 제공함으로써 일반적인 경우에 예상되는 균일한 스펙트럴 갭과 대비되는 것.

제안 방법

• 명시적인 접합 규칙과 군 작용을 통해 산술 테이히뮐러 곡선 $\mathcal{C}_{2k}$ 와 대응하는 정사각형 타일링 표면(오리가미)의 가족을 구성하는 것.
• 모듈리 공간 $\mathcal{H}_g$ 상에서 $Σλ(2,\mathbb{R})$-작용을 이용하여 $\mathcal{C}_{2k}$ 상의 $Σλ(2,\mathbb{R})$-불변 확률 측도 $μ_{2k}$ 를 정의하는 것.
• Ratner의 혼합 속도와 스펙트럴 갭 이론을 적용하여 테이히뮐러 플로우의 지수 혼합 속도가 $L^2$-표현의 스펙트럴 갭과 연결됨을 밝히는 것.
• Ellenberg-McReynolds의 $\Gamma_2$ 의 유한 지수 부분군 $\Gamma_2(N)$ 의 구성 방법을 활용하여 $\mathbb{H}/\Gamma_2(N)$ 이 산술 테이히뮐러 곡선으로 실현됨을 보이는 것.
• Ratner의 작업에서 도출된 명시적 상수를 이용해 스펙트럴 갭을 추정하며, 갭이 $\lesssim \ln(N)/N$ 의 비율로 감소함을 보이는 것.
• Ratner의 추정에서 유도된 명시적 상한을 바탕으로 $N \geq 170$ 일 때 보완 급수가 나타남을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴 갭이 소멸하고, 따라서 혼합 속도가 임의로 느려지는, $L^2$ 상의 $Σλ(2,\mathbb{R})$-표현이 보완 급수를 수용하는 명시적 산술 테이히뮐러 곡선을 구성할 수 있는가?
• RQ2 표현 $L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 의 스펙트럴 갭이 $k \to \infty$ 의 극한에서 소멸하는가?
• RQ3 이러한 곡선 가족을 따라 스펙트럴 갭의 감쇠 속도는 어떠한가?
• RQ4 테이히뮐러 지오데식 플로우의 느린 혼합 행동이 산술 테이히뮐러 곡선에서 명시적으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 보완 급수가 표현에 나타나기 위한 $N$ 의 명시적 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 저자들은 모든 $k \geq 3$ 에 대해 명시적인 산술 테이히뮐러 곡선 $\mathcal{C}_{2k}$ 를 구성한다.
• 모든 $k \geq 3$ 에 대해, $L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 상의 $Σλ(2,\mathbb{R})$-표현은 보완 급수를 포함한다.
• 가족 $\mathcal{C}_{2k}$ 에 따라 스펙트럴 갭의 크기는 $k$ 가 증가함에 따라 0으로 수렴한다.
• 스펙트럴 갭은 $N$ 이 가족을 매개변수화하는 바에 따라 $\lesssim \ln(N)/N$ 의 상한으로 감소함을 보였다.
• Ratner의 작업에서 도출된 명시적 상수를 바탕으로 $N \geq 170$ 일 때 보완 급수가 나타남을 입증하였다.
• 스펙트럴 갭이 소멸하므로, $τ_{2k}$ 상의 테이히뮐러 지오데식 플로우는 임의로 느린 지수 혼합 속도를 가진다.