[논문 리뷰] Exploring group theory and topology for analyzing the structure of biological hierarchies

Shun Adachi|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 28.

Evolutionary Game Theory and Cooperation참고 문헌 94인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 군론과 위상수학을 활용하여 종과 집단을 구분하기 위해 수정된 프라이스 방정식과 제타 함수에서 유도된 새로운 척도인 소작은 $s$를 제안한다. 이는 종의 분열적 구조에 대한 임계 기준으로 $Ø(s) = 2$를 식별하며, 종을 $p$-Sylow 부분군으로 정의하고, 상호작용이 없는 종은 $|N(p)| = 2/3$를 따르며, 중립적 집단은 $|N(p)| = 1$을 따름을 보여주어 변동성이 있는 집단과 질서 있는 종 사이의 위상적 경계를 확인한다.

ABSTRACT

The concepts of population and species play a fundamental role in biology. The existence and precise definition of higher-order hierarchies, such as division into species, is open to debate among biologists. We seek to show a fractal structure of species by utilizing group theory, topology, and a set of zeta functions. First, we present a new metric, small $s$, that uses data from the natural environment to measure extents that are beyond the range of neutral (harmonic) logarithmic populations and are specific to a given species. We define this metric by modifying the Price equation, utilizing a Dirichlet series and an operator based on number theory. As expected, the box dimension of our model is $\dim_BA = 2$ and 2 is a critical line for the appearance of the fractal structure of species, which is confirmed by observation. Prime $p$ numbers can be calculated from corresponding $\Im(s)$ values of non-trivial zero points of the Riemann zeta function. Integrating all methods, we are able to define a species as a $p$-Sylow subgroup of a particular community in a single niche, confirmed by topological analysis. Calculation of the norm of prime closed geodesics $|N(p)|$ shows that noninteracting adaptive species are in the mode $|N(p)| = 2/3$, while interacting neutral populations are in the mode $|N(p)| = 1$. The border between fluctuating populations and ordered species is $\Re(s) = 2$, as expected by various sets of fractal zeta functions. The mod 4 of primes corresponding to $\Im(s)$, the zero points of the Riemann zeta function and the Hurwitz zeta function, reveal adaptive and disadaptive situations among individuals. We thus posit a metric that is useful for discrimination between population data and species data. In our patch with zeta dominance (PzDom) model, calculations only require knowledge of the density of individuals over time.

연구 동기 및 목표

• 기존 기준을 초월하여 종을 정의하는 수학적 프레임워크를 제공함으로써 생물학적 논의에서 고계층계 문제를 해결하는 것.
• 수론과 위상수학을 활용하여 집단 수준의 동역학과 종 수준의 조직을 구분하는 엄밀한 척도를 수립하는 것.
• 박스 차원 $Ø_B A = 2$를 통해 종이 분열적 구조를 띠며, 제타 함수 분석과 지오데식 노름 계산을 통해 이를 확인하는 것.
• $\Im(s)$ 값과 mod 4 분석을 통해 소수와 리만 제타 함수의 비자명한 영점이 적응적 및 비적응적 생물학적 상태와 연결되는 것.

제안 방법

• 비중립적이고 종에 특화된 집단 범위를 포착하기 위해 딜리클 급수와 수론적 연산자를 사용한 수정된 프라이스 방정식에서 유도된 새로운 척도인 소작은 $s$를 도입한다.
• 리만 제타 함수와 허위제타 함수를 활용하여 생물학적 계층에서의 분열적 구조를 모델링하고, $Ø(s) = 2$와 같은 임계선을 식별한다.
• 커뮤니티 생태적 틈새 내에서 종을 $p$-Sylow 부분군으로 정의하여 군론을 활용해 종을 소수의 거듭제곱 순서를 갖는 최대 부분군으로 형식화한다.
• 소수 닫힘 지오데식의 노름 $|N(p)|$을 계산하여 적응적 종($|N(p)| = 2/3$)과 상호작용이 있는 중립적 집단($|N(p)| = 1$)을 구분한다.
• 비자명한 제타 함수 영점의 $Ø(s)$ 값에서 유도된 소수의 mod 4 분류를 활용해 적응적 또는 비적응적 개체 상태를 평가한다.
• 모든 계산에 시간에 따른 개체 밀도 데이터만 필요한 제타 지배 영역이 있는 패치(PzDom) 모델을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군론과 제타 함수를 활용하여 종과 집단를 구분할 수 있는 수학적 척도를 개발할 수 있는가?
• RQ2 변동성이 있는 집단과 질서 있는 분열적 종의 구조를 나누는 $Ø(s)$의 임계 값은 무엇인가?
• RQ3 비상호작용적 적응적 종과 상호작용이 있는 중립적 집단 간의 소수 닫힘 지오데식의 노름 $|N(p)|$는 어떻게 다를까?
• RQ4 비자명한 제타 함수 영점의 허수부 $Ø(s)$가 소수의 mod 4 분류를 통해 적응적 또는 비적응적 생물학적 상태와 얼마나 관련이 있는가?
• RQ5 PzDom 모델은 개체의 시간적 밀도 데이터만으로도 종 경계를 정확히 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모델의 박스 차원은 $Ø_B A = 2$이며, 종의 분열적 구조를 확인하고, $Ø_B A = 2$가 종의 출현에 대한 임계 기준임을 규명한다.
• 임계선 $Ø(s) = 2$는 다양한 제타 함수 프레임워크에서 일관되게 변동성이 있는 집단과 질서 있는 종을 분리한다.
• 비상호작용적 적응적 종은 $|N(p)| = 2/3$를, 상호작용이 있는 중립적 집단은 $|N(p)| = 1$을 따르며, 이는 위상적 구분 기준이 된다.
• 비자명한 리만 제타 함수 영점의 $Ø(s)$ 값에 대응하는 소수들은 mod 4 분류를 통해 적응적 및 비적응적 상태를 드러낸다.
• PzDom 모델은 추가적인 생태학적 또는 유전적 매개변수 없이도 시간적 밀도 데이터만으로 종 식별이 가능하다.
• 소수 닫힘 지오데식의 노름 $|N(p)|$은 진화 방식을 정량적으로 구분하는 척도로 기능하며, $|N(p)| = 2/3$는 적응적 종 분화를 나타낸다.