[논문 리뷰] Explosive Crump-Mode-Jagers branching processes

Júlia Komjáthy|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 04.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 41인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Malthusian 파rameter가 존재하지 않는 상황에서 폭발적인 Crump-Mode-Jagers 분열 과정(CMPs)의 이론을 수립하며, 일반적인 재생 법칙을 가진 연속시간 분열 과정에 초점을 맞춘다. 비교 기법을 도입하고, 폭발이 발생하는 것은 오직 전염성 간격의 시작 시점 $I$에 해당하는 연령에 의존하는 분열 과정이 폭발적인 경우에만 성립하며, 끝 시점 $C$의 분포는 영향을 미치지 않는다는 것을 증명한다. 이는 전염병 유형 모델과 특이하거나 비단조화적인 출생 시점 분포를 가진 병리학적 사례에서의 폭발성에 대한 정밀한 기준을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we initiate the theory of Crump-Mode-Jagers branching processes (BP) in the setting where no Malthusian parameter exist, i.e., the process grows faster than exponential. A Crump-Mode-Jagers BP is a branching process (in continuous time) where arbitrary dependencies are allowed between the birth-times of the children of a single individual in the population. It is however assumed that these reproduction processes are i.i.d. point processes for different individuals. This paper focuses on determining whether this branching process explodes, that is, the process reaches infinitely many individuals in finite time. We develop comparison techniques between reproduction processes. We study special cases in terms of explosivity such as age-dependent BPs, and epidemic models with contagious intervals. For this, we superimpose a random contagious interval $[I, C]$ on every individual in the BP and keep only the children with birth-times that fall in this interval of the parent. We show that the distribution of the end $C$ of the contagious interval does not matter in terms of explosion, while the distribution of $I$ does: the epidemic explodes if and only if the two age-dependent BPs with the original birth-times and birth-times $I$ explode. We finish studying some pathological examples such as birth-time distributions that are singular to the Lebesque-measure yet they produce an explosive BP with arbitrary power-law offspring distributions.

연구 동기 및 목표

• Malthusian 파rameter가 존재하지 않을 경우, 즉 폭발적 영역에서 Crump-Mode-Jagers 분열 과정의 이론을 개발하는 것.
• 임의의 재생 점 과정을 가진 일반 CMPs에서 폭발의 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 전염병 유형 모델에서 전염성 간격의 역할을 분석하여, 폭발성에 영향을 주는 것은 오직 시작 시점 $I$ 뿐임을 보여주는 것.
• 특이하거나 비단조화적인 출생 시점 분포를 가진 병리학적 예시를 구성하고 분석하여 폭발적 과정이 발생할 수 있음을 보여주는 것.
• 무한 평균 후손 수와 비지수 성장의 경우로 일반 연령 의존 분열 과정의 기존 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 일반 Crump-Mode-Jagers 분열 과정에서의 폭발성 분석을 위해 재생 과정 간 비교 기법을 개발한다.
• 각 개체가 무작위 전염성 간격 $[I,C]$를 가지며, 이 간격 내에서 태어난 자손만 유지되는 모델을 도입하여 전염병 확산을 모델링한다.
• 폭발성의 핵심 기준으로 역누적분포함수 $F^{-1}(u)$ 와 적분 $\int_0^1 F^{-1}(e^{-1/y}) \frac{1}{y} dy$ 의 적분 가능성을 사용한다.
• 이전 연구에서 도입된 최소 합계 조건(min-summability condition)을 적용하여, 출생 시점 분포의 尾행동을 바탕으로 폭발성을 특성화한다.
• Cantor 유사 및 이중 지수 측도를 포함한 특이 및 비단조화 출생 시점 분포를 분석하여 기준의 강건성을 시험한다.
• 점근적 근사와 적분 수렴 테스트(예: $\int_e^\infty (\log u)^{-1/\log \beta} \frac{1}{u} du$)를 사용하여 수렴 또는 발산 여부를 판단한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Malthusian 파arameter가 존재하지 않을 경우, Crump-Mode-Jagers 분열 과정이 폭발하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 전염성 간격의 시작 시점 $I$의 분포가 전염병 유형 분열 과정의 폭발성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 전염성 간격의 끝 시점 $C$의 분포가 과정의 폭발 여부에 영향을 미치는가?
• RQ4 특이하거나 비단조화적인 출생 시점 분포에서조차 폭발적 분열 과정이 발생할 수 있는가, 특히 힘의 법칙에 따르는 후손 분포가 존재할 경우?
• RQ5 무거운 尾를 가진 출생 시점 분포를 가진 연속시간 분열 과정에서 폭발적 행동와 보존적 행동의 경계는 어디에 있는가?

주요 결과

• 전염병 모델은 오직 전염성 간격의 시작 시점 $I$에 해당하는 연령 의존 분열 과정이 폭발적인 경우에만 폭발하며, $C$의 분포는 영향을 미치지 않는다.
• 두꺼운 힘의 법칙 후손 분포를 가진 경우, 과정은 $\int_e^\infty (\log u)^{-1/\log \beta} \frac{1}{u} du < \infty$ 를 만족할 경우 폭발적이며, 이는 $\beta < e$ 일 때 성립하고, $\beta \geq e$ 일 때는 보존적이다.
• Cantor 분포에서 $F^{-1}_{\text{Cantor}}(u) \leq 3u^{\log 3 / \log 2}$ 이면 폭발적 과정이 발생하며, 이에 해당하는 적분이 수렴하기 때문이다.
• 이산 예시의 연속적 유사체인 $F_\gamma(y) = \exp\{-\exp(1/y^\gamma)\}$ 는 $\gamma < 1$ 일 때 폭발적이며, $\gamma \geq 1$ 일 때는 보존적이다. 이는 임계 경계를 나타낸다.
• 절대 연속적이지만 비단조화적인 출생 시점 밀도조차도 폭발적 과정을 유도할 수 있으며, 이는 폭발성에 있어 단조성 조건이 필수적이지 않음을 보여준다.
• Gulikers의 박사학위 논문에서의 이전 충분 조건에 대한 반례를 구성하여, 영점 근방에서의 비단조화성조차도 폭발성을 차단하지 않음을 입증한다.