[논문 리뷰] Exponential Convergence in $L^p$-Wasserstein Distance for Diffusion Processes without Uniformly Dissipative Drift

Dejun Luo, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 반사에 의한 커플링과 무한원에서 볼록인 보조 함수를 사용하여 비균일하게 소산성인 드리프트를 갖는 확산 과정에 대해 $L^p$-와서르슈타인 거리에서 지수 수렴을 확립한다. 핵심 결과는 드리프트가 조각별 소산 조건을 만족할 경우, 반응기의 수렴 속도가 $e^{-\lambda t/p}$임을 보여주며, 이는 이전 결과가 $L^1$-와서르슈타인 거리로 국한되어 있던 것을 개선한다.

ABSTRACT

By adopting the coupling by reflection and choosing an auxiliary function which is convex near infinity, we establish the exponential convergence of diffusion semigroups $(P_t)_{t\ge0}$ with respect to the standard $L^p$-Wasserstein distance for all $p\in[1,\infty)$. In particular, we show that for the Itô stochastic differential equation $$\d X_t=\d B_t+b(X_t)\,\d t,$$ if the drift term $b$ satisfies that for any $x,y\in\R^d$, $$\langle b(x)-b(y),x-y angle\le \begin{cases} K_1|x-y|^2,& |x-y|\le L; -K_2|x-y|^2,& |x-y|> L \end{cases}$$ holds with some positive constants $K_1$, $K_2$ and $L>0$, then there is a constant $λ:=λ(K_1,K_2,L)>0$ such that for all $p\in[1,\infty)$, $t>0$ and $x,y\in\R^d$, $$W_p(δ_x P_t,δ_y P_t)\leq Ce^{-λt/p} \begin{cases} |x-y|^{1/p}, & \mbox{if } |x-y|\le 1; |x-y|, & \mbox{if } |x-y|> 1. \end{cases}$$ where $C:=C(K_1,K_2,L,p)$ is a positive constant. This improves the main result in \cite{Eberle} where the exponential convergence is only proved for the $L^1$-Wasserstein distance.

연구 동기 및 목표

• 드리프트가 균일하게 소산적이지 않은 경우 확산 반응기의 $L^p$-와서르슈타인 거리에서 지수 수렴을 확립하기 위해.
• 이전 결과가 $L^1$-와서르슈타인 거리로 국한되어 있던 것을 $p \in [1, \infty)$ 전역으로 확장하기 위해.
• 비균일 소산성에 대응하기 위해 반사에 의한 커플링과 볼록 보조 함수를 활용한 프레임워크를 개발하기 위해.
• 드리프트의 국소적 및 전역적 소산성 행동에 따라 수렴 속도를 특성화하기 위해.
• 유도된 수렴 조건 하에서 불변 측도의 존재성과 유일성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 시간이 지남에 따라 수축하는 커플링 과정을 구성하기 위해 반사에 의한 커플링을 활용한다.
• 큰 이탈에서의 드리프트 행동을 제어하기 위해 무한원에서 볼록인 보조 함수를 도입한다.
• 커플링을 사용하여 전이 핵심 $\delta_x P_t$와 $\delta_y P_t$ 사이의 $L^p$-와서르슈타인 거리를 유계로 둔다.
• 이토의 공식과 커플링된 과정의 생성자를 사용하여 와서르슈타인 거리에 대한 미분 부등식을 유도한다.
• 보조 함수를 사용한 라플라스 유형의 추론을 적용하여 지수 감쇠를 확립한다.
• $W_p$에서의 수축 성질을 이용해 에르고딕성과 불변 측도의 존재를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일하게 소산성 드리프트를 갖는 확산 과정에 대해 $L^p$-와서르슈타인 거리에서 지수 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ2 드리프트 $b$에 어떤 조건이 성립하면 모든 $p \in [1, \infty)$에 대해 지수적 $L^p$-와서르슈타인 수렴이 보장되는가?
• RQ3 반사에 의한 커플링 방법은 균일하게 소산성이 아닌 드리프트로 확장되어 어떻게 그러한 수렴을 달성하는가?
• RQ4 드리프트의 국소적 및 전역적 소산성 상수에 따라 수렴 속도를 정량화할 수 있는가?
• RQ5 $L^p$-와서르슈타인 수렴과 불변 측도 존재성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• SDE $\mathrm{d}X_t = \mathrm{d}B_t + b(X_t)\,\mathrm{d}t$에서 드리프트가 상수 $K_1, K_2, L > 0$를 갖는 조각별 소산 조건을 만족할 경우, 모든 $p \in [1, \infty)$에 대해 $L^p$-와서르슈타인 거리에서 지수 수렴이 성립한다.
• 수렴 속도는 $W_p(\delta_x P_t, \delta_y P_t) \leq C e^{-\lambda t/p} \cdot \begin{cases} |x-y|^{1/p}, & |x-y| \leq 1 \\ |x-y|, & |x-y| > 1 \end{cases}$이며, $\lambda = \lambda(K_1, K_2, L) > 0$이다.
• 상수 $C$는 $K_1, K_2, L$ 및 $p$에 의존하며, 모든 $p \in [1, \infty)$에서 유한하다.
• 이 결과는 이전 연구에서 $L^1$에서의 수렴을 $L^p$ 전역으로 확장함으로써 개선된 것이다.
• $W_1$에서의 수축 성질을 통해 불변 확률 측도 $\mu$의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 유도된 수렴 조건은 불변 측도에 대해 파incare 부등식을 함의하며, 스펙트럼 갭 성질을 확인한다.