[논문 리뷰] Exponential mixing for a class of dissipative PDEs with bounded degenerate noise

Sergei Kuksin, Vahagn Nersesyan외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 64인용 수 43

한 줄 요약

이 논문은 고유한 정상측정과 지수적 혼합을 증명한다. 이는 고정된 위상 공간에서의 특정 이산-시간 마르코프 과정의 클래스에 대해 해당되며, 바운드된 degenerate 노이즈가 몇 개의 Fourier 모드에 작용하는 비선형 소멸성 PDE들을 포함하고, 선형화가 용이하며 노이즈 구조가 분해 가능하게 구성된다.

ABSTRACT

We study a class of discrete-time random dynamical systems with compact phase space. Assuming that the deterministic counterpart of the system in question possesses a dissipation property, its linearisation is approximately controllable, and the driving noise is bounded and has a decomposable structure, we prove that the corresponding family of Markov processes has a unique stationary measure, which is exponentially mixing in the dual-Lipschitz metric. The abstract result is applicable to nonlinear dissipative PDEs perturbed by a bounded random force which affects only a few Fourier modes. We assume that the nonlinear PDE in question is well posed, its nonlinearity is non-degenerate in the sense of the control theory, and the random force is a regular and bounded function of time which satisfies some decomposability and observability hypotheses. This class of forces includes random Haar series, where the coefficients for high Haar modes decay sufficiently fast. In particular, the result applies to the 2D Navier-Stokes system and the nonlinear complex Ginzburg-Landau equations. The proof of the abstract theorem uses the coupling method, enhanced by the Newton-Kantorovich-Kolmogorov fast convergence.

연구 동기 및 목표

• bounded degenerate noise를 가진 이산화된 임의 동적 시스템의 고유성 및 지수적 혼합 연구 및 동기 부여를 위한 목표
• 선형화의 제어 가능성과 마르코프 체인의 비에르고딕 특성 사이의 추상적 프레임워크 개발
• Haar-type 노이즈로 섭동된 2D Navier–Stokes 및 비선형 Complex Ginzburg–Landau 방정식 등 PDE에 추상적 결과 적용

제안 방법

• 정규성, 소멸성, 선형화의 근사적 제어가능성, 및 노이즈의 분해가능성이라는 네 가지 가설 프레임워크를 설정한다.
• 고유한 위상 공간과 Newton–Kantorovich–Kolmogorov 빠른 수렴 스킴을 통한 계약/Doeblin-type 결합을 이용한 마르코프 이산 시간 설정을 적용한다.
• 무한 차원에서의 측정가능한 결합을 구성하여 이중-리피시츠 측정에서의 지수 수렴을 달성한다.
• 선형화된 노이즈 맵을 약간의 동형으로 역전시켜 경계 노이즈 하에서도 결합이 가능하도록 하는 동형-유사 접근법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 PDE와 바운드되고 분해 가능한 노이즈에 대해 이산화된 마르코프 과정이 고유한 정상측정을 가질 조건은 무엇인가?
• RQ2 결합가능한 모든 결정 모드에 작용하지 않는 degenerate, 바운드 노이즈를 갖는 시스템에 대해 이중-리피시츠 지표에서 지수적 혼합을 얻을 수 있는가?
• RQ3 선형화의 근사적 제어가능성과 노이즈의 분해가능성이 무한 차원에서의 효과적인 결합을 구성하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 추상적 결과를 어떤 PDE들(예: Navier–Stokes, 복소수 Ginzburg–Landau)에 적용할 수 있으며, 어떤 관측가능성 또는 노이즈 구조가 혼합을 보장하는가?
• RQ5 Haar-type 노이즈와 관측 가능성 가정이 필요한 비가역성(non-degeneracy)을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 마르코프 과정에 대해 충분히 큰 N과 양의 점도 ν에서 고유한 정상측정이 존재하고 이중-리피시츠 측정에서의 지수적 수렴이 성립한다.
• 비선형 비가소성 PDE가 특정 유한 개의 또는 분해된 Fourier 모드에만 영향을 주는 바운드된 무작위 힘으로 섭동될 때에도 이 결과가 적용되며, 2D Navier–Stokes 및 complex Ginzburg–Landau 방정식을 포함한다.
• 정규성, 소실성, 선형화의 근사적 제어가능성, Lipschitz 밀도 함수의 분해가능성의 가설 아래 혼합이 성립한다.
• 강제력이 Haar 계열로 표현될 수 있으며 계수가 충분히 빠르게 감소하여 관찰 가능하고 분해 가능한 노이즈를 가능하게 한다.
• 결합 접근은 Newton–Kantorovich–Kolmogorov 빠른 수렴 스킴에 의해 도와지며 바운드 노이즈에 대해 Malliavin 계산을 요구하지 않는다.
• 초기 분포가 정상일 경우 해는 시간적으로 확률적으로 주기적이 되며, 임의의 초기 데이터에 대해 정상 상태로의 수렴은 시간에 대해 지수적으로 나타난다.