[논문 리뷰] Exponential mixing under controllability conditions for SDEs driven by a degenerate Poisson noise

Vahagn Nersesyan, Renaud Raquépas|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 약한 소산성 및 제어 가능성 조건 하에서 열화된 복합 포아송 노이즈에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)에 대해 지수 혼합성과 불변 측도의 유일성을 확립한다. 기존의 호르멘더 조건보다 더 약한 새로운 고체 제어 가능성 조건을 도입함으로써, 작도가 비정규인 경우에도 전체 변동 거리에서의 지수 수렴을 증명하였으며, 이는 무한차원 및 네트워크 시스템에서 비가우시안, 열화된 노이즈로의 결과 확장을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We prove existence and uniqueness of the invariant measure and exponential mixing in the total-variation norm for a class of stochastic differential equations driven by degenerate compound Poisson processes. In addition to mild assumptions on the distribution of the jumps for the driving process, the hypotheses for our main result are that the corresponding control system is dissipative, approximately controllable and solidly controllable. The solid controllability assumption is weaker than the well-known parabolic H\"ormander condition and is only required from a single point to which the system is approximately controllable. Our analysis applies to Galerkin projections of stochastically forced parabolic partial differential equations with asymptotically polynomial nonlinearities and to networks of quasi-harmonic oscillators connected to different Poissonian baths.

연구 동기 및 목표

• 열화된 복합 포아송 노이즈에 의해 구동되는 SDEs에 대해 지수 혼합성과 불변 측도의 유일성을 확립하기 위해.
• 기존의 표준 호르멘더 조건을 약화시키기 위해, 단일 점에서만 적용 가능한 새로운 고체 제어 가능성 가정을 도입하기 위해.
• 가우시안 노이즈와 전_RANK_을 갖는 확산을 초월한 에르고딕성 결과를 비마르코프, 점프 구동 시스템으로 확장하기 위해.
• 스토케스적으로 구동되는 포아송형 편미분방정식의 갈레르킨 근사 및 준조화 진동자 네트워크에 이 프레임워크를 적용하기 위해.
• 비콤팩트 상태 공간에서 유효한, 소산성과 제어 가능성에 기반한 커플링 기반 증명 전략을 제공하기 위해.

제안 방법

• 최대 커플링과 전이 시간 추정을 기반으로 한 커플링 추론을 사용하여 전체 변동 거리의 상한을 구한다.
• 고체 제어 가능성의 개념을 도입: 컴팩트한 제어 집합이 변형에 의해 비퇴화된 구를 포함하는 이미지를 갖는다.
• 부록 A의 히팅 시간에 대한 지수 추정을 적용하여 혼합 속도를 제어한다.
• 소산성 조건 (C1) 하에서 ∥x∥²의 라플라스 함수 후보를 활용하여 경로의 안정성을 보장한다.
• 마르코프 반군 (P∗t) 과 확률 측도 위에서의 작용을 이용하여 불변 측도 수렴을 증명한다.
• 측도 이론적 도구(보조정리 C.2)를 적용하여, 정규 매핑 하에서 이미지 측도가 양의 밀도를 갖도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호르멘더 조건이 전역적으로 실패하는 경우, 열화된 포아송 노이즈를 갖는 SDEs에 대해 지수 혼합성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 전_RANK_ 확산이 없는 상황에서 지수 혼합성을 보장하는 더 약한 제어 가능성 조건은 무엇인가?
• RQ3 소산성과 단일 점에서의 국소 제어 가능성의 조합이 전역 에르고딕성으로 이어지는가?
• RQ4 비가우시안, 점프 구동 SDEs에 대해 비콤팩트 공간에서 커플링 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 포아송형 열 저장소를 갖는 확률적 편미분방정식과 진동자 네트워크에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 조건 (C1)–(C3) 하에, SDE는 ℝᵈ 위의 Borel 확률측도 공간에 대해 유일한 불변 측도 µinv 를 갖는다.
• 반군 (P∗t) 는 전체 변동 노름에서 µinv 로 지수적으로 수렴한다: 모든 t ≥ 0 에 대해 ∥P∗tµ − µinv∥var ≤ C e−ct (1 + ∫∥x∥µ(dx)) 이다.
• 고체 제어 가능성 조건 (C3) 는 파라볼릭 호르멘더 조건보다 엄밀히 더 약하며, 단지 한 점 ˆx 에서만 적용된다.
• 이 결과는 rank(B) < d, 즉 열화된 점프 노이즈인 경우에도, 점프 분포의 약한 모멘트 및 밀도 가정 하에 성립한다.
• 이 프레임워크는 점근적으로 다항비선형성을 갖는 스토케스적으로 구동되는 포아송형 편미분방정식의 갈레르킨 근사에 적용 가능하다.
• 이 방법은 독립된 포아송형 열 저장소에 연결된 준조화 진동자 네트워크로까지 확장되며, 이러한 시스템에서 지수 혼합성을 확립한다.