[논문 리뷰] Exponential moments for numerical approximations of stochastic partial differential equations

Arnulf Jentzen, Primož Pušnik|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 42인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비글로벌 모노톤성(non-globally monotone)을 가진 확률적 편미분방정식(SPDEs)에 대해 시간과 공간, 노이즈가 모두 이산화된 새로운 종류의 억제된 공간-시간-노이즈 이산 지수 오일러 스킴을 제안한다. 이는 무한차원 SPDEs에서 시간 이산화 수치해법에 대해 알려진 바 없는 지수적 적분 경계를 확립하며, 일반적인 노이즈 조건 하에서 스토하스틱 버거스, 키라모트-시바시니, 2차원 나비에-스토크스 방정식에 대해 유한한 지수적 모멘트를 증명한다.

ABSTRACT

Stochastic partial differential equations (SPDEs) have become a crucial ingredient in a number of models from economics and the natural sciences. Many SPDEs that appear in such applications include non-globally monotone nonlinearities. Solutions of SPDEs with non-globally monotone nonlinearities are in nearly all cases not known explicitly. Such SPDEs can thus only be solved approximatively and it is an important research problem to construct and analyze discrete numerical approximation schemes which converge with positive strong convergence rates to the solutions of such infinite dimensional SPDEs. In the case of finite dimensional stochastic ordinary differential equations (SODEs) with non-globally monotone nonlinearities it has recently been revealed that exponential integrability properties of the discrete numerical approximation scheme are a key instrument to establish positive strong convergence rates for the considered approximation scheme. To the best of our knowledge, there exists no result in the scientific literature which proves exponential integrability properties for a time discrete approximation scheme in the case of an infinite dimensional SPDE. In this paper we propose a new class of tamed space-time-noise discrete exponential Euler approximation schemes that admit exponential integrability properties in the case of infinite dimensional SPDEs. In particular, we establish exponential moment bounds for the proposed approximation schemes in the case of stochastic Burgers equations, stochastic Kuramoto-Sivashinsky equations, and two-dimensional stochastic Navier-Stokes equations.

연구 동기 및 목표

• 비글로벌 모노톤성 비선형성을 가진 무한차원 SPDEs에서 시간 이산화 스킴에 대한 강한 수렴 속도 결과가 부족한 문제를 다루기 위해.
• 기존 문헌의 격차를 메우기 위해 이러한 SPDEs의 수치적 근사에 대해 지수적 적분 성질을 확립하기 위해.
• 지수적 모멘트 경계를 보장하는 새로운 종류의 억제된 공간-시간-노이즈 이산 지수 오일러 스킴을 개발하고 분석하기 위해.
• 이전에는 유한차원 SDEs에서 사용된 지수적 적분 기법을 무한차원 SPDEs로 확장하기 위해.
• 곱셈 노이즈가 있는 주요 SPDEs인 스토하스틱 버거스, 키라모트-시바시니, 2차원 나비에-스토크스 방정식에 대해 엄밀한 모멘트 경계를 제공하기 위해.

제안 방법

• 폭발을 방지하기 위해 비선형 드리프트를 정규화하는 억제된 공간-시간-노이즈 이산 지수 오일러 스킴을 제안한다.
• 투영된 해의 노름과 노이즈 증분에 기반한 새로운 정지 메커니즘을 도입하여 지수적 모멘트 추정에서 유한성을 보장한다.
• 조건부 기대값에 대한 인수분해 보조정리를 활용해 지수적 모멘트를 다룰 수 있는 일보 단계 추정으로 분리한다.
• 이토의 공식과 재귀적 프레임워크 내에서 그론발 유형의 추론을 사용해 일보 지수적 모멘트 경계를 도출한다.
• 해의 노름과 노이즈 증분의 노름에 의존하는 절단 함수를 사용한 억제된 스킴을 적용하여 성장률을 통제한다.
• 무한차원 설정을 다루고 모멘트 추정에서 수렴을 보장하기 위해 스펙트럼 프로젝터와 힐베르트-슈미트 노이즈 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비글로벌 모노톤성 비선형성을 가진 무한차원 SPDEs에서 시간 이산화 수치해법에 대해 지수적 적분을 확립할 수 있는가?
• RQ2 억제된 공간-시간-노이즈 이산 오일러 스킴은 스토하스틱 버거스 및 나비에-스토크스 방정식과 같은 SPDEs에 대해 유한한 지수적 모멘트를 갖는가?
• RQ3 시간 및 공간 이산화 파라미터에 의존하지 않는 일관된 지수적 모멘트 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 비글로벌 모노톤성 드리프트가 존재하는 상황에서 지수적 적분을 활용해 강한 수렴 속도를 확보할 수 있는가?
• RQ5 곱셈 노이즈가 있는 SPDEs에서 지수적 모멘트 경계를 가능하게 하는 노이즈와 비선형성에 대한 정확한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 억제된 공간-시간-노이즈 이산 지수 오일러 스킴은 코로나리 4.11에 의해 스토하스틱 버거스 방정식에 대해 유한한 지수적 모멘트를 확보한다.
• 모든 ε ∈ [1, ∞)에 대해 sup_{N,M∈ℕ} sup_{t∈[0,T]} E[exp(ε∥Y^{N,M}_t∥²_H / e^{2ε trace_H(Q)t})] < ∞ 를 만족하여 균일한 지수적 적분성을 증명한다.
• 스토하스틱 키라모트-시바시니 방정식에 대해 지수적 모멘트 경계가 확립되었으며, 코로나리 4.13에 기재되어 있다.
• 곱셈 노이즈가 있는 2차원 스토하스틱 나비에-스토크스 방정식 또한 제안된 스킴 하에서 유한한 지수적 모멘트를 갖는다. 이는 코로나리 4.15에서 확인된다.
• 분석 결과, 나비에-스토크스 방정식의 비글로벌 모노톤성 비선형성은 억제 메커니즘과 조합될 경우 지수적 적분성을 방해하지 않음을 확인한다.
• 이 논문은 무한차원 SPDEs에서 시간 이산화 스킴에 대해 지수적 적분성을 증명하는 데 있어 첫 번째 증명을 제공하며, 향후 강한 수렴 속도 분석을 가능하게 한다.