[논문 리뷰] Exponential Quantum Speed-ups for Semidefinite Programming with Applications to Quantum Learning

Fernando G. S. L. Brandão, Amir Kalev외 4명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 06.

Machine Learning and Algorithms인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 양자 상태 입력과 저랭크 해밀토니안 샘플링을 활용하여 고전적 방법에 비해 지수적 속도 향상을 달성하는 준거프로그래밍(SDP)을 위한 양자 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹)의 양자 게이트만으로 측정 데이터와 일치하는 양자 상태의 효율적 학습을 가능하게 하며, 핵심 기술적 진전은 저랭크 해밀토니안에 대한 다항로그 양자 지브스 상태 샘플러이다.

ABSTRACT

We give semidefinite program (SDP) quantum solvers with an exponential speed-up over classical ones. Specifically, we consider SDP instances with $m$ constraint matrices of dimension $n$, each of rank at most $r$, and assume that the input matrices of the SDP are given as quantum states (after a suitable normalization). Then we show there is a quantum algorithm that solves the SDP feasibility problem with accuracy $\epsilon$ by using $\sqrt{m}\log m\cdot ext{poly}(\log n,r,\epsilon^{-1})$ quantum gates. The dependence on $n$ provides an exponential improvement over the work of Brand\~ao and Svore and the work of van Apeldoorn et al., and demonstrates an exponential quantum speed-up when $m$ and $r$ are small. We apply the SDP solver to the problem of learning a good description of a quantum state with respect to a set of measurements: Given $m$ measurements and a supply of copies of an unknown state $ ho$, we show we can find in time $\sqrt{m}\log m\cdot ext{poly}(\log n,r,\epsilon^{-1})$ a description of the state as a quantum circuit preparing a density matrix which has the same expectation values as $ ho$ on the $m$ measurements up to error $\epsilon$. The density matrix obtained is an approximation to the maximum entropy state consistent with the measurement data considered in Jaynes' principle. As in previous work, we obtain our algorithm by quantizing classical SDP solvers based on the matrix multiplicative weight update method. One of our main technical contributions is a quantum Gibbs state sampler for low-rank Hamiltonians with a poly-logarithmic dependence on its dimension based on the techniques developed in quantum principal component analysis, which could be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 고전적 방법에 비해 지수적 속도 향상을 달성하는 양자 알고리즘을 개발하여 준거프로그래밍(SDP) 타당성 문제를 해결한다.
• 측정 데이터와 일치하는 최대 엔트로피 상태를 근사함으로써, m개의 측정 결과로부터 양자 상태의 기술을 효율적으로 학습할 수 있도록 한다.
• 제약 행렬의 차원 n에 대한 의존도를 다항식에서 다항로그로 감소시키기 위해 양자 기법을 활용한다.
• 시스템 차원 n에 대해 독립적인 다항로그 척도를 갖는 저랭크 해밀토니안에 대한 양자 지브스 상태 샘플러를 설계한다.

제안 방법

• 양자 상태 입력과 앰플리튜드 확대를 활용하여 고전적 행렬 곱셈 가중치 업데이트 방법을 양자 프레임워크로 적응시킨다.
• 양자 주성분 분석(QPCA) 기법을 기반으로 한 양자 지브스 상태 샘플러를 활용해 저랭크 해밀토니안 열역학 상태를 효율적으로 준비한다.
• 정밀도를 높이기 위해 앰플리튜드 추정과 양자 특이값 변환을 사용하여 측정 연산자의 기대값을 추정한다.
• 제약 수 m, 행렬 차원 n, 최대 랭크 r에 대해 시간 복잡도가 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹)인 양자 SDP 솔버를 구축한다.
• 양자 SDP 솔버를 상태 학습 프로토콜에 통합하여, 측정 결과를 ε 오차 이내로 재현하는 밀도 행렬을 준비하는 양자 회로를 재구성한다.
• 저랭크 구조와 양자 선형대수 기본 원리를 활용하여 게이트 수에 대한 n에 대한 다항로그 의존도를 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 행렬이 양자 상태로 제공될 경우, 양자 알고리즘이 준거프로그래밍(SDP) 타당성 문제 해결에 지수적 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 알 수 없는 상태의 복제본에 접근 가능한 조건에서, m개의 측정 결과와 일치하는 양자 상태의 최적 양자 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 시스템 차원 n에 대해 다항로그 의존도를 갖는 저랭크 해밀토니안에 대한 양자 지브스 상태 샘플러를 구성할 수 있는가?
• RQ4 제약 행렬의 제약 수 m, 행렬 차원 n, 랭크 r에 따라 양자 SDP 솔버의 스케일링은 어떻게 되는가?
• RQ5 양자 SDP 솔버를 사용하여 측정 제약 조건 하에서 최대 엔트로피 상태를 얼마나 잘 근사할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 SDP 솔버는 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹)의 게이트 복잡도를 달성하여, 이전 고전적 및 양자 방법에 비해 n에 대해 지수적 속도 향상을 제공한다.
• 알고리즘은 n이 크더라도 다항로그 의존도를 갖는 행렬 차원 n에 대해 정확도 ε로 SDP 타당성 문제를 해결할 수 있다.
• QPCA 기법을 기반으로 하여 n에 독립적인 다항로그 스케일링을 갖는 저랭크 해밀토니안에 대한 양자 지브스 상태 샘플러를 개발하였다.
• 이 방법은 m개의 측정 결과로부터 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹)의 시간 내에 양자 상태 기술을 학습할 수 있으며, 오차 ε 이내로 최대 엔트로피 상태와 일치시킨다.
• m과 r이 작을 경우, n이 크더라도 n에 대한 유리한 스케일링 덕분에 지수적 양자 속도 향상이 나타난다.
• 양자 SDP 솔버는 양자 상태 학습에 적용되어, 측정 결과의 기대값을 ε 오차 이내로 재현하는 밀도 행렬을 생성한다.