[논문 리뷰] Exponential rate of L_p-convergence of intrinsic martingales in supercritical branching random walks

Gerold Alsmeyer, Alexander Iksanov외 2명|ArXiv.org|2009. 03. 23.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초임계 분열 랜덤 워크에서 내재 마팅게일 $W_n$이 거의 확실히 수렴하는 극한 $W$로의 $L_p$ 수렴에 대해 필요하고 충분한 조건을 확립한다. 주요 결과는 타당한 조건에 따라 $L_p$ 수렴의 지수적 속도를 분포의 모멘트 조건과 생성함수 $m(r)$의 스펙트럼 반경을 통해 규명하며, 이는 $p$와 매개변수 $a > 0$에 따라 정밀한 기준을 제공한다. 분석은 마팅게일 부등식, 모멘트 추정, 그리고 버크홀더 유형의 접근법을 통한 $L_p$ 노름의 볼록성에 기반한다.

ABSTRACT

Let $W_n, n\in\mn_{0}$ be an intrinsic martingale with almost sure limit $W$ in a supercritical branching random walk. We provide criteria for the $L_p$-convergence of the series $\sum_{n\ge 0} e^{an}(W-W_n)$ for $p>1$ and $a>0$. The result may be viewed as a statement about the exponential rate of convergence of $\me |W-W_n|^p$ to zero.

연구 동기 및 목표

• 초임계 분열 랜덤 워크에서 내재 마팅게일 $W_n$이 그 극한 $W$로 수렴하는 $L_p$ 수렴의 지수적 속도를 규명하는 것.
• 모든 $p > 1$ 및 $a > 0$에 대해 시리즈 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$의 거의 확실 수렴 및 $L_p$ 수렴을 위한 필요 및 충분 조건을 유도하는 것.
• $\mathbb{E}|W - W_n|^p$의 감쇠 속도를 초기 가중치 분포의 모멘트 생성함수 $m(r)$로 기술하는 것.
• 초기 가중치 분포의 $p$차 모멘트와 스펙트럼 반경 $m^{1/r}(r)$를 포함하는 정밀한 기준을 수립하는 것.

제안 방법

• 가중치가 부여된 분열 과정에서 $n$번째 세대의 총 무게인 $Z_n$을 사용하여 내재 마팅게일 $W_n = Z_n / m^n(1)$을 사용하는 것.
• 버크홀더 부등식과 모멘트 추정을 적용하여 조건부 분산과 $L_2$-노름을 통해 $\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$를 제어하는 것.
• $W_{n+1} - W_n$의 증분을 제1세대의 개체들에 대해 분해하고, 각 개체에 대해 $L_v^2(W_1(v) - 1)^2$로 가중치를 부여하는 것.
• $p \geq 2$일 때 $x \mapsto x^{p/2}$의 볼록성과 초가역성을 이용하여 $\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$의 하한을 도출하는 것.
• 제1.1조와 보조정리 3.5를 적용하여 $\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2}$를 $m^n(p)$과 $m^n(2)$로 표현하며, 이는 $m(p)$와 $m^{p/2}(2)$의 상대적 크기에 따라 달라진다.
• Minkowski의 부등식을 $L_{p/2}$에서 적용하여 시리즈 $\widehat{A}$의 $L_p$-노름을 제어하고, 문제를 $e^{pan} \mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$의 수렴 가능성으로 환원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $p > 1$ 및 $a > 0$에 대해 시리즈 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$가 $L_p$에서 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\mathbb{E}|W - W_n|^p$가 초임계 분열 랜덤 워크에서 0으로 수렴하는 정확한 지수적 속도는 무엇인가?
• RQ3 초기 가중치 분포의 $p$차 모멘트와 함수 $m(r)$는 마팅게일 증분의 수렴 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 $p > 2$일 때 $L_p$ 수렴을 위한 조건 $e^a m^{1/p}(p) < 1$는 필수적이고 충분한가?
• RQ5 $m(p)$와 $m^{p/2}(2)$의 상대적 크기는 수렴 기준을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $p > 2$에 대해 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$의 $L_p$ 수렴은 $\mathbb{E}W_1^p < \infty$와 $e^a m^{1/p}(p) < 1$이 동시에 성립할 때에만 성립하며, $m(p) \geq m^{p/2}(2)$이면 $e^a m^{1/2}(2) < 1$이 필수적이다.
• 모든 $p = 2$에 대해 $L_2$ 수렴은 $e^a m^{1/2}(2) < 1$일 때에만 성립하며, 이는 $e^{2a} m(2) < 1$과 동치이다.
• $p > \vartheta$일 때, $s_n(2)$와 $m^n(p)$를 비교함으로써 $e^a m^{1/p}(p) < 1$의 필수성은 확인된다. 여기서 $s_n(2)$는 증분의 이阶 모멘트이다.
• $p \geq 2$일 때 $L_p$ 수렴을 위해 $e^{ap} m(p) < 1$이 필수적임을 도출하였으며, 이는 젠센의 부등식과 $\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$의 모멘트 추정을 통해 유도되었다.
• 조건의 충분성은 $\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2}$의 추정과 $x \mapsto x^{p/2}$의 볼록성에 기반하여 $e^{pan} \mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p = O(q^n)$ ($q < 1$)임을 보여줌으로써 증명되었다.
• 사례 1($m(p) < m^{p/2}(2)$)에서는 $\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2} = O(m^n(p))$라는 추정이 $q = e^{ap} m^{p/2}(2)$를 통해 수렴을 보장하며, 사례 2($m(p) \geq m^{p/2}(2)$)에서는 $\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2} = O(n^c m^n(p))$라는 추정이 $\delta > 1$이면서 1에 가까운 경우 $q = \delta e^{pa} m(p)$를 통해 수렴을 보장한다.