[논문 리뷰] Exponential stability of a PI plus reset integrator controller by a sampled-data system approach

Miguel A. Davó, Frédéric Gouaisbaut외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 08.

Distributed Control Multi-Agent Systems참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 샘플드 데이터 시스템 접근법을 제안하여 시간지연을 고려한 리셋 제어 시스템의 지수안정성을 분석한다. 비례-적분 보다 더한 리셋 적분기(PI+RI) 제어기를 사용하여, 리셋 적분기를 샘플드 데이터 프레임워크 내에서 재구성함으로써 라파노프-크라소프스키 함수의 점프 조건을 피하고, LMI 기반의 지수안정 조건을 도출한다. 이 조건들은 기저 시스템이 불안정하더라도 안정성을 보장하며, 리셋 간격에 명시적인 경계를 두어 감쇠률을 보장한다.

ABSTRACT

The paper deals with the stability analysis of time-delay reset control systems, for which the resetting law is assumed to satisfy a time-dependent condition. A stability analysis of the closed-loop system is performed based on an appropriate sampled-data system. New linear matrix inequality (LMI) conditions are proposed to ensure the exponential stability of the closed-loop resulting of the connection of a plant with a proportional and integral controller together with a reset integrator (PI+RI).

연구 동기 및 목표

• 시간지연 리셋 제어 시스템에 대한 안정성 분석 부족 문제를 해결하기 위해.
• PI+RI 제어기의 라파노프-크라소프스키 분석에서 비최소실현 및 플로우 조건의 어려움을 극복하기 위해.
• 리셋 제어 시스템을 샘플드 데이터 시스템으로 변환하여 연속적인 라파노프 함수를 보장하고 점프 조건을 피하는 프레임워크를 개발하기 위해.
• 명시적인 LMI 기반 조건을 도출하여 지수안정성과 특정 감쇠률을 보장하기 위해.
• 이전의 점근적 안정성 결과를 지수안정성으로 확장하고 리셋 간격에 대한 정량적 경계를 제공하기 위해.

제안 방법

• 리셋 적분기를 샘플드 데이터 시스템으로 재구성하여 최소실현과 연속적인 상태 궤적을 달성하기 위해.
• 시계열 의존 라파노프 함수와 루프 함수를 결합하여 샘플드 데이터 시스템을 분석하기 위해.
• 시간에 따라 변하는 리셋 법칙을 도입하여 리셋 순간을 $\mathcal{T}_m \leq t_{k+1} - t_k \leq \mathcal{T}_M$ 의 경계로 제약하기 위해.
• 샘플드 데이터 구조를 갖는 시간지연 시스템에 특화된 라파노프-크라소프스키 함수를 구성하기 위해.
• 주어진 감쇠률 $\alpha$ 를 보장하는 선형행렬부등식(LMI) 조건을 유도하기 위해.
• 기존 샘플드 데이터 안정성 결과의 확장과 함께, PI+RI 제어기의 이중적분기 구조를 다룰 수 있도록 새로운 LK 함수를 조합하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 샘플드 데이터 시스템 재구성에 기반해 시간지연 리셋 제어 시스템에 대해 PI+RI 제어기를 사용할 때 지수안정성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 리셋 동작이 안정한 기저 시스템을 불안정하게 만들 수 있는 위험을 시간 제약 조건을 통해 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ3 목표로 하는 감쇠률을 확보하기 위해 필요한 최소 및 최대 리셋 간격 경계($\mathcal{T}_m$, $\mathcal{T}_M$)는 무엇인가?
• RQ4 리셋 비율과 시간지연의 선택이 불안정한 기저 시스템에서 허용 가능한 리셋 주기 영향을 미치는 방식은 어떠한가?
• RQ5 제안된 LMI 기반 조건은 안정 및 불안정한 기저 시스템 모두에 적용 가능하며, 보장된 지수수렴을 보장하는가?

주요 결과

• 기저 시스템이 안정하고 시간지연 $h=1$ 인 경우, 리셋 간격이 $\mathcal{T}_m \geq 0.94$ 와 $\mathcal{T}_M = 1$ 으로 경계될 때 지수안정성이 확보되며, 감쇠률은 $\alpha = 10^{-6}$ 에 도달한다.
• 기저 시스템이 불안정한 경우에도 $\mathcal{T}_m \leq t_{k+1} - t_k \leq \mathcal{T}_M$ 와 같은 적절한 경계를 적용함으로써 리셋 제어 시스템의 지수안정성이 확보됨을 예제 4.2에서 입증하였다.
• 지수안정성에 필요한 최소 $\mathcal{T}_m$ 은 $M$ (각 간격 내 샘플링 포인트 수) 가 증가함에 따라 감소하지만, $M=2$ 이후에는 향상 폭이 둔화된다.
• 예제 4.2에서 감쇠률 $\alpha$ 는 더 짧은 리셋 주기 $T$ 에 따라 증가하며, $\mathcal{T}_m = 0.01\mathcal{T}_M$ 일 경우 제어 가능한 감쇠률로 안정적인 운영이 가능하다.
• 샘플드 데이터 재구성 덕분에 연속적인 라파노프 함수를 보장함으로써 점프 조건을 효과적으로 피할 수 있었으며, 이는 안정성 분석에 효과적임을 입증하였다.
• 유도된 LMI 조건은 점근적 안정성뿐 아니라 지수안정성에도 효과적이며, 후자는 감쇠률의 정량적 보장을 제공한다.