[논문 리뷰] Exponential Stability of Subspaces for Quantum Stochastic Master Equations

Tristan Benoist, Clément Pellegrini외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 02.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 70인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 양자 확률적 마스터 방정식(SME)에 대해, 목표 부분공간의 거의 확실히 불변성과 전역적 점근적 안정성이 평균(결정론적) 동역학에 대응하는 성질과 동치임을 규명한다. 평균 동역학에 대해 엄밀한 선형 리아푸노프 함수의 존재를 증명하고 리아푸노프 지수에 대한 날카로운 경계를 유도한다; 특히 측정 역작용을 통합할 경우 평균 속도를 초월해 거의 확실히 안정성 속도를 크게 향상시킬 수 있으며, 평균 속도가 그대로 유지되는 동안 이를 임의로 크게 만들 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We study the stability of quantum pure states and, more generally, subspaces for stochastic dynamics that describe continuously--monitored systems. We show that the target subspace is almost surely invariant if and only if it is invariant for the average evolution, and that the same equivalence holds for the global asymptotic stability. Moreover, we prove that a strict linear Lyapunov function for the average evolution always exists, and latter can be used to derive sharp bounds on the Lyapunov exponents of the associated semigroup. Nonetheless, we also show that taking into account the measurements can lead to an improved bound on stability rate for the stochastic, non-averaged dynamics. We discuss explicit examples where the almost sure stability rate can be made arbitrary large while the average one stays constant.

연구 동기 및 목표

• 스토케스틱 마스터 방정식(SME) 동역학 하에서 목표 양자 부분공간이 불변이 되고 전역적으로 점근적으로 안정해지는 조건을 엄밀히 규명하는 것.
• 평균(결정론적) 동역학에서의 안정성과 스토케스틱 SME 경로에서의 거의 확실한 안정성 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 측정 역작용이 평균 동역학에 의해 예측되는 것보다 거의 확실한 수렴 속도를 향상시킬 수 있는지 조사하는 것.
• 평균 및 스토케스틱 SME 동역학에 대해 리아푸노프 지수에 대한 날카로운 경계를 도출하는 것.
• 幾乎 확실한 안정성 속도를 임의로 크게 만들 수 있는 명시적 예시를 구성하는 것. 이때 평균 속도는 일정하게 유지된다.

제안 방법

• 연속적인 측정을 모델링하는 유한차원 양자 시스템에 대해, 확산(와이너) 및 점프(포아송) 과정을 포함하는 일반적인 양자 스토케스틱 마스터 방정식(SME)의 클래스를 분석한다.
• 평균 동역학을 SME의 기대값으로 정의하고, 리드블라드 유형 생성자 L에 의해 지배되며, 그의 셈그룹 성질을 연구한다.
• 상태 ρ가 목표 부분공간 HS로부터의 거리를 그 수직 컴플리멘트 HR에 대한 투영을 통해 측정하는 트레이스 노름 기반 리아푸노프 함수 V(ρ) = ||ρR||₁을 도입한다.
• 평균 동역학에 대해 엄밀한 선형 리아푸노프 함수의 존재가 지수적 안정성을 암시함을 증명하고, 평균 리아푸노프 지수 α₀에 대한 날카로운 경계를 도출한다.
• 평균 동역학(L 및 부분공간 불변성)을 유지하면서 스토케스틱 동역학을 수정하는 새로운 확산 측정 채널 C_{n+1} = ℓS P_S + ℓR P_R를 도입한다.
• 이토의 보조정리와 마틴게일 추론을 사용하여 리아푸노프 함수의 거의 확실한 수렴 속도를 분석하고, 매개변수 Re²(ℓS − ℓR)를 통해 지수 α₁이 α₀와 독립적으로 조절될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 목표 부분공간 HS가 스토케스틱 SME 하에서 거의 확실히 불변이 되는 조건은 무엇이며, 이는 평균(결정론적) 동역학 하에서의 불변성과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 스토케스틱 SME의 거의 확실한 수렴 속도(리아푸노프 지수 α₁)는 평균 수렴 속도(α₀)를 초월할 수 있는가? 만약 그렇다면, 얼마나 초월할 수 있는가?
• RQ3 평균 SME에 대해 엄밀한 선형 리아푸노프 함수가 존재하여 평균 리아푸노프 지수에 대한 날카로운 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 측정 역작용을 통해 평균 동역학이나 부분공간 불변성을 변화시키지 않고도 거의 확실한 안정성 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 큐비트의 경우 거의 확실한 수렴 속도를 정확히 계산할 수 있으며, 이는 이론적 경계와 일치하는가?

주요 결과

• 목표 부분공간 HS는 거의 확실히 불변이 되는 것과 평균 동역학 하에서의 불변성 조건이 동치이며, 전역적 점근적 안정성의 경우에도 동일한 동치관계가 성립한다.
• 평균 SME에 대해 항상 엄밀한 선형 리아푸노프 함수가 존재하여 평균 리아푸노프 지수 α₀에 대한 날카로운 경계를 도출할 수 있다.
• 적절한 측정 연산자(예: C_{n+1} = ℓS P_S + ℓR P_R)를 선택하면 평균 속도 α₀를 그대로 유지하면서 거의 확실한 안정성 속도 α₁을 임의로 크게 만들 수 있다.
• 큐비트의 경우 거의 확실한 수렴 속도는 정확히 α₀ + α₁이며, 거의 확실하게 lim_{t→∞} (1/t) ln(1−p(t)) = −(α₀ + α₁)가 성립함을 확인하여 경계의 날카로움을 입증한다.
• 수치 시뮬레이션은 α₁을 증가시킬수록 일반적인 궤적에서 수렴 속도가 빨라짐을 확인한다. 초기 변동이 있더라도 상태는 빠르게 목표 부분공간으로 붕괴된다.
• 비파괴 측정 채널의 추가는 평균 동역학이나 부분공간 불변성을 변화시키지 않으면서도 스토케스틱 동역학을 수정함으로써 측정 역작용을 통한 안정성 향상의 직접적 증거를 제시한다.