[논문 리뷰] Exponential stock models driven by tempered stable processes

Uwe Küchler, Stefan Tappe|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 38인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 옵션 가격 설정에서 해석 가능성의 유지를 중시하면서, 온화한 안정 분포에 의해 구동되는 지수 주가 모델에 대한 등가 마링게일 측도의 체계적인 분석을 제공한다. Esscher, 최소 엔트로피, p-최적, Föllmer-Schweizer 마링게일 측도의 존재 조건을 수립하고, 명시적 가격 설정 공식을 유도하며, 투자자 지수(DAX) 사례 연구를 통해 모델 안정성을 입증한다. 이는 임의의 변동성 표면을 포함한다.

ABSTRACT

We investigate exponential stock models driven by tempered stable processes, which constitute a rich family of purely discontinuous L\'{e}vy processes. With a view of option pricing, we provide a systematic analysis of the existence of equivalent martingale measures, under which the model remains analytically tractable. This includes the existence of Esscher martingale measures and martingale measures having minimal distance to the physical probability measure. Moreover, we provide pricing formulae for European call options and perform a case study.

연구 동기 및 목표

• 온화한 안정 과정에 의해 구동되는 지수 주가 모델에서 등가 마링게일 측도의 존재 조건을 수립하기 위해.
• 이러한 측도 하에서 옵션 가격 설정의 해석 가능성 확보를 위해 구동 과정의 온화한 안정성 유지하기 위해.
• 다양한 마링게일 측도 하에서 푸리에 변환 기법을 사용하여 유럽_CALL_옵션에 대한 명시적 가격 설정 공식을 도출하기 위해.
• DAX 역사적 데이터와 임의의 변동성 표면 계산을 활용한 사례 연구를 통해 모델의 안정성과 실용적 적용 가능성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 여섯 개의 매개변수(α±, β±, λ±)를 가진 온화한 안정 과정에 의해 구동되는 지수 레비 과정을 이용해 주가를 모델링하기 위해.
• Esscher 변환을 적용하여, 과정이 여전히 온화한 안정성을 유지하는 등가 마링게일 측도를 도출하기 위해.
• 이중 Esscher 변환을 사용하여 최소 엔트로피 및 p-최적 마링게일 측도를 구성하고, 볼록 최적화 및 모멘트 생성 함수를 통해 존재 조건을 유도하기 위해.
• Föllmer-Schweizer 최소 마링게일 측도를 활용하여, 새로운 측도 하에서 과정이 두 개의 독립적인 온화한 안정 성분으로 분해되도록 하기 위해.
• 푸리에 변환 기법을 사용한 특성 함수 역행산을 통해 옵션 가격 설정 공식을 유도하기 위해.
• 결과를 검증하기 위해 DAX 기반 사례 연구를 수행하고, 역사적 데이터로부터 매개변수를 추정하며 옵션 가격과 임의의 변동성 표면을 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 온화한 안정 과정에 의해 구동되는 지수 주가 모델에서 Esscher 마링게일 측도가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 최소 엔트로피 마링게일 측도가 존재하는 조건은 무엇이며, 이는 λ+와 λ− 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 Föllmer-Schweizer 최소 마링게일 측도를 구성할 수 있는가? 이 경우 구동 과정이 해석적으로 다룰 수 있는가?
• RQ4 실제로 다양한 마링게일 측도는 임의의 변동성 표면에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 모델 매개변수의 작은 校정 오차에 대해 결과 옵션 가격은 얼마나 안정적인가?

주요 결과

• Esscher 마링게일 측도는 λ+ + λ− > 1 이고 r − q 가 구간 (f(−λ−), f(λ+ − 1)] 내에 있을 때에만 존재한다. 여기서 f(Θ)는 모멘트 생성 함수를 통해 정의된다.
• 최소 엔트로피 마링게일 측도는 λ+ < 1 이거나, λ+ ≥ 1 이고 α±, β±, λ±에 대한 드리프트 조건이 만족될 때 존재한다.
• Föllmer-Schweizer 최소 마링게일 측도는 α+Γ(−β+) ((λ+ −1)β+ − λ+β+) + α−Γ(−β−) ((λ−+1)β− − λ−β−) ≥ r − q 조건이 만족될 때에만 존재한다.
• 옵션 가격 설정 공식은 푸리에 변환 기법을 사용하여 도출되었으며, 이는 모든 연구된 마링게일 측도 하에서 유럽_CALL_옵션 가격을 해석적으로 계산할 수 있도록 한다.
• DAX 지수에 대한 사례 연구에서는 평균과 표준편차의 작은 변동에 대해 옵션 가격과 임의의 변동성 표면이 국소적으로 평탄함을 보여주어 校정 오차에 대한 강건성을 입증한다.
• 최소 엔트로피 측도 하에서 계산된 임의의 변동성 표면은 단기 만기에서는 변동성 미소를 보이며, 장기 만기로 갈수록 평탄해지며, [28]에서 다른 校정 접근법을 사용한 결과와 일치한다.