[논문 리뷰] Exponentially more concise quantum recognition of non-RMM regular languages

Daowen Qiu, Lvzhou Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 41인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고전적 상태와 양자 기저 상태를 포함하는 하이브리드 모델인 1QFAC를 소개한다. 1QFAC는 경계 오차로 모든 정규 언어를 인식할 수 있으며, 결정성 유한 오토마타(DFA)에 비해 지수적 상태 압축을 달성한다. 주요 기여는 특정 비-RMM 정규 언어에 대해 1QFAC가 DFA보다 지수적으로 더 간결할 수 있음을 증명하는 것으로, 동치성 및 최소화 문제의 결정 가능성을 유지한다.

ABSTRACT

We show that there are quantum devices that accept all regular languages and that are exponentially more concise than deterministic finite automata (DFA). For this purpose, we introduce a new computing model of {\it one-way quantum finite automata} (1QFA), namely, {\it one-way quantum finite automata together with classical states} (1QFAC), which extends naturally both measure-only 1QFA and DFA and whose state complexity is upper-bounded by both. The original contributions of the paper are the following. First, we show that the set of languages accepted by 1QFAC with bounded error consists precisely of all regular languages. Second, we prove that 1QFAC are at most exponentially more concise than DFA. Third, we show that the previous bound is tight for families of regular languages that are not recognized by measure-once (RMO), measure-many (RMM) and multi-letter 1QFA. % More concretely we exhibit regular languages $L^0(m)$ for $m$ prime such that: (i) $L^0(m)$ cannot be recognized by measure-once, measure-many and multi-letter 1QFA; (ii) the minimal DFA that accepts $L^0(m)$ has $O(m)$ states; (iii) there is a 1QFAC with constant classical states and $O(\log(m))$ quantum basis that accepts $L^0(m)$. Fourth, we give a polynomial-time algorithm for determining whether any two 1QFAC are equivalent. Finally, we show that state minimization of 1QFAC is decidable within EXPSPACE. We conclude the paper by posing some open problems.

연구 동기 및 목표

• 고전적 유한 오토마타의 구조를 유지하면서 양자역학을 활용해 상태 효율성을 향상시킬 수 있는 실용적인 양자 오토마타 모델을 개발하는 것.
• 기존 1QFA 모델(MO-1QFA, MM-1QFA, 다중 문자 1QFA 등)이 특정 정규 언어를 인식하지 못하거나 DFA보다 더 많은 상태가 필요로 하는 한계를 해결하는 것.
• 측정-한 번, 측정-다수 또는 다중 문자 1QFA로 인식할 수 없는 정규 언어에 대해 1QFAC가 지수적 상태 압축을 달성할 수 있음을 보여주는 것.
• 1QFAC의 동치성 및 최소화 문제의 결정 가능성을 확립하여, 양자 오토마타의 실용적 검증 및 최적화 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 고전적 상태와 양자 기저 상태를 갖는 하이브리드 모델인 1QFAC를 제안한다. 전이 규칙은 고전적 상태에 조건부로 적용되는 유니터리 연산에 의해 결정된다.
• 입력 처리 종료 시 측정을 통해 수용 여부를 정의하며, 수용 확률은 양자 상태가 수용 부분공간과 겹치는 정도에 의해 결정된다.
• 잘서열 정렬 논증과 유한 임계값까지의 상태 동치성 개념을 활용하여 동치성 문제를 유한 개의 문자열 검사로 환원한다.
• 고전적 상태 수 $k_i$와 양자 상태 수 $n_i$를 고려해, bound $(k_1n_1)^2 + (k_2n_2)^2 - 1$을 기반으로 1QFAC 동치성에 대한 다항 시간 알고리즘을 제안한다.
• 유한 문자열 집합에서의 동치성 검사로 환원함으로써, 1QFAC의 최소화 문제를 EXPSPACE 내에서 결정 가능하다는 것을 증명한다.
• 기존의 양자 상태 구별 가능성 및 오토마타 동치성 이론을 활용하여 동치성 검사를 위한 문자열 수의 상한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 정규 언어를 인식할 수 있고, 결정성 유한 오토마타(DFA)보다 지수적으로 더 간결한 양자 오토마타 모델을 설계할 수 있는가?
• RQ2 1QFAC의 동치성 문제는 결정 가능하며, 다항 시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ3 1QFAC의 최소화 문제는 지정된 복잡도 클래스, 예를 들어 EXPSPACE 내에서 결정 가능한가?
• RQ4 비-RMM 정규 언어에 대해 1QFAC의 상태 복잡도는 MO-1QFA, MM-1QFA 또는 앤실라 1QFA와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 주어진 정규 언어에 대해, 최소 DFA 대비 1QFAC의 양자 상태 복잡도에 대한 가장 날카운 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 1QFAC는 경계 오차로 모든 정규 언어를 인식할 수 있으며, 1QFAC가 수용하는 언어의 집합이 정확히 정규 언어의 클래스임을 증명한다.
• 1QFAC는 DFA에 비해 최대 지수적으로 더 간결하며, 이 상한은 MO-1QFA, MM-1QFA 또는 다중 문자 1QFA로 인식할 수 없는 정규 언어에 대해 날카롭게 유지된다.
• 모든 소수 $m \geq 2$에 대해, 최소 DFA에서 $O(m)$개의 상태가 필요한 정규 언어 $L_m$이 존재하며, 1QFAC에서는 $O(\log m)$개의 양자 기저 상태와 일정한 고전적 상태만으로 표현된다.
• 두 1QFAC의 동치성 여부를 판단하는 다항 시간 알고리즘이 존재하며, 시간 복잡도는 $O((k_1n_1)^2 + (k_2n_2)^2)^4$이다.
• 1QFAC의 최소화 문제는 EXPSPACE 내에서 결정 가능하며, Moore와 Crutchfield가 제기한 MO-1QFA 최소화에 대한 열린 문제를 해결한다.
• 보조 결과로서, MO-1QFA의 최소화 문제 역시 결정 가능하며, [33]의 문제 5에 대한 해결책을 제공한다.