[논문 리뷰] Exponentially small expansions associated with a generalised Mathieu series

R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 28.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 메릴린 변환 방법을 사용하여, $ |a| \to \infty $ 인 영역 $ |\arg a| < \pi/\rho $ 에서 일반화된 마티에 급수 $ S_{u,\beta}(a;\rho) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^\beta}{(n^\rho + a^\rho)^\nu} $ 의 점근 전개를 유도한다. $ \rho $ 와 $ \beta $ 가 짝수 정수일 경우 전개는 유한한 대수적 부분과 무한한 수의 지수적으로 작은 항들의 열로 이루어지며, $ \nu $ 가 정수일 경우 닫힌 형태의 평가가 도출된다.

ABSTRACT

We consider the generalised Mathieu series \\[\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{n^\\gamma}{(n^\\lambda+a^\\lambda)^\\mu}\\qquad (\\mu&gt;0)\\] when the parameters $\\lambda$ ($&gt;0$) and $\\gamma$ are even integers for large complex $a$ in the sector $|\\arg\\,a|&lt;\\pi/\\lambda$. The asymptotics in this case consist of a {\\it finite} algebraic expansion together with an infinite sequence of increasingly subdominant exponentially small expansions. When $\\mu$ is also a positive integer it is possible to give closed-form evaluations of this series. Numerical results are given to illustrate the accuracy of the expansion obtained.

연구 동기 및 목표

• 큰 복소수 $ a $ 에 대해 일반화된 마티에 급수 $ S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^\gamma}{(n^\lambda + a^\lambda)^\mu} $ 의 점근적 행동을 분석하는 것.
• $ \lambda $ 와 $ \gamma $ 가 짝수 정수일 경우, 유한한 대수적 전개와 무한한 수의 점차적으로 지배적이지 않은 지수적으로 작은 기여를 갖는 점근 전개의 구조를 조사하는 것.
• 점근 전개의 구조를 활용하여 $ \mu $ 가 양의 정수일 경우 급수의 닫힌 형태 평가를 도출하는 것.
• 유도된 점근 전개의 정확도와 큰 $ |a| $ 에서의 수치적 검증을 제공하는 것.

제안 방법

• $ h(x) = \frac{x^{\gamma}}{(1 + x^{\lambda})^\mu} $ 의 메릴린 변환을 통해 일반화된 마티에 급수의 적분 표현을 유도하기 위해 메릴린 변환 방법을 활용하는 것.
• 리만 제타 함수와 $ h(x) $ 의 메릴린 변환을 포함하는 커프트 적분으로 급수를 표현하기 위해 메릴린 역변환 정리를 사용하는 것.
• 잔류값 정리를 적용하여 적분을 평가하고, 제타 함수와 메릴린 변환의 극을 식별함으로써 대수적 항과 지수적 항을 도출하는 것.
• 제타 함수의 음의 짝수 정수에서의 극과 관련된 볼레르 합산 기법을 통해 지수적으로 작은 기여를 유도하는 것.
• $ \mu $ 가 정수일 경우, 제타 함수의 함수방정식과 잔류값 계산을 활용하여 hyperbolic 함수와 지수항을 포함하는 닫힌 형태의 표현을 도출하는 것.
• $ \tilde{S}_{\mu,\gamma}(a;\lambda) = S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) - 2^{1-\delta} S_{\mu,\gamma}(a/2;\lambda) $ 의 항등식을 사용하여 급수의 교대형으로 확장하고, 수정된 지수항을 갖는 점근 전개를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ \lambda $ 와 $ \gamma $ 가 짝수 정수일 경우, $ |a| \to \infty $ 인 영역 $ |\arg a| < \pi/\lambda $ 에서 일반화된 마티에 급수 $ S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) $ 의 점근적 구조는 무엇인가?
• RQ2 본질적 특이점의 부재에도 불구하고 점근 전개에 무한한 수의 지수적으로 작은 항들이 포함되는 이유는 무엇인가?
• RQ3 $ \mu $ 가 양의 정수일 경우 급수에 대해 닫힌 형태의 평가를 도출할 수 있으며, 그들의 구조는 어떠한가?
• RQ4 지수적으로 작은 항들은 제타 함수와 메릴린 변환의 해석적 구조에서 어떻게 유도되는가?
• RQ5 교대형 급수 $ \tilde{S}_{\mu,\gamma}(a;\lambda) $ 의 점근적 행동은 비교대형의 경우와 어떻게 다를까? 그 점근적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• $ \lambda $ 와 $ \gamma $ 가 짝수 정수일 경우, $ S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) $ 의 점근 전개는 유한한 대수적 전개와 점차적으로 지배적이지 않은 지수적으로 작은 항들의 무한한 수열로 이루어진다.
• $ \mu $ 가 정수일 경우 급수는 닫힌 형태로 평가 가능하다: $ S_{\mu,\gamma}(a;\lambda) = H_{\mu,\gamma}(a;\lambda) + \sum_{r=0}^{p-1} e^{i\vartheta\omega_r} E_r(a) $, 여기서 $ H_{\mu,\gamma} $ 는 대수적이고 $ E_r(a) $ 는 지수적으로 작다.
• $ \mu = 1 $, $ \gamma = 2m $, $ \lambda = 2p $ 인 경우, 급수는 $ S_{1,2m}(a;2p) = H_{1,2m}(a;2p) + \frac{(-)^m \pi}{2p a^{2p-2m-1}} \sum_{r=0}^{p-1} e^{i\vartheta\omega_r} \coth(\pi a e^{i\omega_r}) $ 로 평가된다.
• $ \mu = 3 $, $ \gamma = \lambda = 2 $ 인 경우, 닫힌 형태는 $ S_{3,2}(a;2) = \frac{\pi}{16a^3} - \frac{\pi^3}{2a} \frac{e^{-2\pi a}}{(1 - e^{-2\pi a})^2} \left( \frac{1 + e^{-2\pi a}}{(1 - e^{-2\pi a})^2} + \frac{1}{2\pi a (1 - e^{-2\pi a})} - \frac{1}{(2\pi a)^2} \right) $ 로 주어진다.
• 교대형 급수 $ \tilde{S}_{\mu,\gamma}(a;\lambda) $ 는 수정된 지수항 $ \tilde{E}_r(a) $ 를 포함하는 점근 전개를 갖는다. 이는 $ \tilde{K}_j(X_r;\mu) = \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-(n-1)X_r}}{(n - 1/2)^{1-\mu+j}} $ 를 통해 정의되며, $ X_r = 2\pi a e^{i\omega_r} $ 이다.
• 수치적 결과는 점근 전개의 정확도를 확인하였으며, 큰 $ a $ 에서 오차가 약 $ 10^{-11} $ 수준임을 보여 이론적 예측을 검증한다.