[논문 리뷰] Exponentiated Inverse Power Lindley Distribution and its Applications

Rameesa Jan, T. R. Jan외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 22.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 지수화된 누적분포함수를 통해 유도된 삼파rameter 유연한 생애시간 분포인 지수화된 역거품 린들레이 분포(Exponentiated Inverse Power Lindley Distribution, EIPLD)를 제안한다. 이 모형은 낙하형 위험률을 효과적으로 포착하며, AIC/BIC 기반으로 기존 분포들보다 실제 수리 시간 데이터에 더 우수한 적합도를 보이며, 시뮬레이션을 통해 최대우도추정량이 일관성을 보인다.

ABSTRACT

In this article,a three parameter generalisation of inverse lindley distribution is obtained, with the purpose of obtaining a more flexible model relative to the behaviour of hazard rate functions. Various statistical properties such as density, hazard rate functions, moments, moment generating functions, stochastic ordering, Renyi entropy, distribution of rth order statistics has been derived. The method of maximum likelihood estimation has been used to estimate parameters. Further confidence intervals are also obtained. Finally applicability of the proposed model to the real data is analysed. A comparison has also been made with some existing distributions.

연구 동기 및 목표

• 생존 및 신뢰성 분석에서 비단조화 위험률, 특히 낙하형을 포함한 비단조화 위험률을 모델링할 수 있는 세 파라미터 유연한 분포를 개발하기 위해.
• 역린들레이 및 역거품 린들레이 분포를 지수화를 통해 일반화함으로써, 복잡한 고장 시간 행동을 모델링하는 데 있어 더 높은 유연성을 제공하기 위해.
• 새로운 분포에 대해 모멘트, 모멘트 생성 함수, 순서통계량, 확률적 순서, 레니 지수 엔트로피 등의 주요 통계적 성질을 유도하기 위해.
• 최대우도 기반의 모수 추정을 위한 종합적인 프레임워크를 제공하며, 이는 점근적 신뢰구간을 포함한다.
• 실제 데이터에 대한 모델 성능 평가 및 기존 분포들과의 비교를 위해 AIC, BIC, 그리고 콜모고로프-스미르노프 통계량을 사용하여 평가하기 위해.

제안 방법

• 역거품 린들레이 분포의 누적분포함수 $ G(z) $ 를 기반으로 변환 $ G_ heta(z) = [G(z)]^ heta $ 를 사용하여 지수화된 역거품 린들레이 분포(Exponentiated Inverse Power Lindley Distribution, EIPLD)를 제안한다.
• 확률밀도함수(PDF)를 $ g_ heta(z) = rac{ heta eta^2 heta}{1+eta} rac{1+z^ heta}{z^{2 heta+1}} e^{- hetaeta / z^ heta} ig[1 + rac{eta}{1+eta} rac{1}{z^ heta} ig]^{ heta-1} $ 로 유도하며, 여기서 파라미터는 $ heta > 0 $, $ eta > 0 $, $ heta > 0 $ 이다.
• 생존함수 $ S(z) = 1 - ig[ ig(1 + rac{eta}{1+eta} rac{1}{z^ heta} ig) e^{-eta / z^ heta} ig]^ heta $ 와 위험함수 $ h(z) = rac{g_ heta(z)}{S(z)} $ 를 유도한다.
• 모멘트 생성 함수를 통한 모멘트, 레니 지수 엔트로피, 확률적 순서, 그리고 r번째 순서통계량의 분포와 같은 통계적 성질을 확립한다.
• 모수 $ heta, eta, heta $ 를 추정하기 위해 최대우도추정(MLE)을 적용하고, 점근적 분산-공분산 및 신뢰구간을 위한 관측된 피셔 정보행렬을 유도한다.
• R에서 역누적분포함수 방법을 사용한 시뮬레이션 연구를 통해 표본 크기 $ n = 25, 50, 100, 200, 300, 500 $ 에서 편향, 분산, 평균제곱오차(MSE)를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역거품 린들레이 분포의 삼파라미터 일반화가 기존 모델들보다 비단조화 위험률, 특히 낙하형을 모델링하는 데 더 높은 유연성을 제공할 수 있는가?
• RQ2 제안된 EIPLD에서 모멘트, 모멘트 생성 함수, 레니 지수 엔트로피, 확률적 순서, 순서통계량 등의 통계적 성질은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 EIPLD의 최대우도추정량은 다양한 표본 크기에서 편향, 분산, MSE 측면에서 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ4 EIPLD는 웨이블, 린들레이, 지수화된 지수분포와 같은 경쟁 분포들보다 실제 수리 시간 데이터에 유의미하게 더 우수한 적합도를 보이는가?
• RQ5 모수 $ heta, eta, heta $ 에 대한 점근적 신뢰구간은 무엇이며, 유한 표본에서의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 활성 수리 시간 데이터에 적합시킨 결과, EIPLD는 비교된 모든 모델 중에서 가장 낮은 AIC(184.91)와 BIC(189.97) 값을 기록하여 더 뛰어난 모형 적합도를 나타낸다.
• EIPLD의 콜모고로프-스미르노프 검정 통계량은 0.09537로 모든 모델 중에서 가장 작아, 경험분포에 가장 가까운 적합도를 나타낸다.
• 모수의 최대우도추정량은 $ heta = 1.20167 $, $ eta = 25.94112 $, $ heta = 0.06205 $ 로 도출되었으며, 음의 로그우도는 89.45였다.
• 시뮬레이션 결과, $ heta, eta, heta $ 의 최대우도추정량의 편향, 분산, MSE는 표본 크기가 증가함에 따라 감소하는 경향을 보이며, 추정량의 일관성과 신뢰성을 확인하였다.
• EIPLD는 린들레이 및 일반화된 린들레이 분포보다 음의 로그우도를 6개 이상 감소시켜 훨씬 더 뛰어난 적합도를 나타내었다.
• 특히 $ heta = 1 $ 일 때는 역린들레이 분포, $ heta = heta = 1 $ 일 때는 역거품 린들레이 분포를 특수한 경우로 포함하므로, 그 일반성과 타당성을 검증하였다.