[논문 리뷰] Exponentiated Weibull-logarithmic Distribution: Model, Properties and Applications

Eisa Mahmoudi, Afsaneh Sepahdar외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 21.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 잠재적 보완 위험 프레임워크를 통해 복합화된 지수화된 웨이블 라이프타임 분포인 지수화된 웨이블-로그arith믹(EWL) 분포를 제안한다. EWL 분포는 감소, 증가, 단일 최대, 배수형 등 다양한 위험률 형태를 가지며, 일반화된 지수-로그arith믹 및 보완 웨이블-로그arith믹과 같은 하위 모델을 포함한다. 최대우도추정과 적합도검정을 통해 실데이터에 대한 적합도가 기존 분포보다 뛰어나다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new four-parameter generalization of the exponentiated Weibull (EW) distribution, called the exponentiated Weibull-logarithmic (EWL) distribution, which obtained by compounding EW and logarithmic distributions. The new distribution arises on a latent complementary risks scenario, in which the lifetime associated with a particular risk is not observable; rather, we observe only the maximum lifetime value among all risks. The distribution exhibits decreasing, increasing, unimodal and bathtub-shaped hazard rate functions, depending on its parameters and contains several lifetime sub-models such as: generalized exponential-logarithmic (GEL), complementary Weibull-logarithmic (CWL), complementary exponential-logarithmic (CEL), exponentiated Rayleigh-logarithmic (ERL) and Rayleigh-logarithmic (RL) distributions. We study various properties of the new distribution and provide numerical examples to show the flexibility and potentiality of the model.

연구 동기 및 목표

• 지수화된 웨이블을 일반화하고 다양한 위험률 형태를 수용할 수 있는 새로운 4파라미터 수명분포를 개발하기.
• 다수의 위험 중 최대 수명만 관측되는 시스템을 모형화하기 위해 잠재적 보완 위험 시나리오에 기반한 모델링을 수행하기.
• 일반화된 지수-로그arith믹 및 보완 웨이블-로그arith믹 분포와 같은 하위 모델을 포함하는 융통성 있는 통계모델을 제공하기.
• 최대우도추정과 EM-알고리즘을 통한 강력한 매개변수 추정 및 추론을 가능하게 하여 실세계 수명자료에 적용하기.
• 종합적인 적합도통계를 통해 실데이터 세트에 대한 모델의 우수성을 입증하기.

제안 방법

• 수명의 수명이 지수화된 웨이블(EW) 분포와 로그arith믹 분포를 복합화하여 EWL 분포를 구성한다. 여기서 위험의 수는 로그arith믹 분포를 따른다.
• 최대 수명 Y의 주변 누적분포함수 (CDF)는 F(y) = log[1 - θ(1 - e^{-(βy)^γ})^α] / log(1 - θ)로 유도되며, θ ∈ (0,1)이다.
• 확률밀도함수 (PDF)는 f(y) = [αθγβ^γ y^{γ-1} e^{-(βy)^γ} (1 - e^{-(βy)^γ})^{α-1}] / [log(1 - θ) (θ(1 - e^{-(βy)^γ})^α - 1)]로 유도되며, 이는 EWL(α, β, γ, θ) 분포를 정의한다.
• 잠재변수 구조를 다루기 위해 EM-알고리즘을 사용하여 4개의 매개변수에 대한 최대우도추정을 수행한다.
• 모델의 성질로는 분위수, 모멘트, Rénýi 및 Shannon 엔트로피, 순서통계량, 잔여수명함수, 확률가중모멘트 등이 포함된다.
• 적합도 평가에는 두 개의 실데이터 세트에 대해 K-S 통계량, p-값, AIC, AD, CM, 및 최대우도비검정이 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수화된 웨이블을 일반화하고 다양한 위험률 행동을 수용할 수 있는 새로운 4파라미터 수명분포를 개발할 수 있는가?
• RQ2 기존 모델인 웨이블, 지수, 일반화된 지수 분포와 비교하여 EWL 분포는 실세계 수명자료에 대해 어떻게 적합하는가?
• RQ3 로그arith믹 복합화 메커니즘이 보완 위험 프레임워크 내에서 유도된 분포의 융통성과 해석 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 잠재변수가 존재하는 상황에서 EM-알고리즘이 EWL 분포의 매개변수를 효과적으로 추정할 수 있는가?
• RQ5 GEL, CEL, CWL 등 EWL 모델의 하위모델은 다양한 실패시간 데이터를 모형화하는 데 어떤 함의를 지니는가?

주요 결과

• EWL 분포는 매개변수 값에 따라 감소, 증가, 단일 최대, 배수형 패턴을 가진 융통성 있는 위험률 함수를 나타낸다.
• 첫 번째 데이터 세트(200개의 스트레스 파손 시간)에서 EWL 모델은 K-S 통계량 0.075, p-값 0.8657, -2log(L) = 111.738, AIC = 119.738을 기록하여 경쟁 모델보다 뛰어난 적합도를 보였다.
• 두 번째 데이터 세트(1.5cm 유리섬유의 강도, n=63)에서 EWL 모델은 가장 낮은 AIC(119.738)와 AD(0.2545)를 기록했으며, K-S p-값은 0.8657이었고, EW, GE, 웨이블 모델을 모두 능가했다.
• 최대우도비검정은 귀무가설(예: WG 대비 EWL)을 기각하였으며, p-값은 각각 4.34e-05, 0.0008, 0.0005였고, 이는 EWL 모델이 더 단순한 대안보다 통계적으로 유의미하다는 것을 확인했다.
• EM-알고리즘은 4개의 매개변수에 대한 최대우도추정을 성공적으로 수행하였으며, 두 데이터 세트 모두에서 각 매개변수의 표준오차가 보고되었다.
• EWL 모델은 GEL, CEL, CWL, ERL, RL 등의 하위모델을 포함하여 다양한 실패시간 시나리오에 광범위하게 적용 가능함을 보여주었다.