[논문 리뷰] Exponentiated Weibull Power Series Distributions and its Applications

Eisa Mahmoudi, Mitra Shiran|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 21.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 거듭제곱 Weibull-거듭제곱 시리즈(EWPS) 분포를 소개한다. 이는 거듭제곱 Weibull 분포를 거듭제곱 시리즈 분포(예: 기하분포, 포아송분포, 로그분포)와 복합화하여 구성된 유연한 수명 모델이다. 밀도함수, 생존함수, 위험함수, 분위수함수를 유도하였고, 잠재변수의 구조를 고려한 EM 알고리즘을 통한 최대우도 추정 기법을 수립하였으며, 기준 모델 대비 실제 데이터에 대한 적합도가 뛰어나, 증가하는, 감소하는, 배수형(bathtub-shaped), 단일극대형(unimodal) 고장률을 모두 모델링할 수 있음을 보여주었다.

ABSTRACT

In this paper we introduce the exponentiated Weibull power series (EWPS) class of distributions which is obtained by compounding exponentiated Weibull and power series distributions, where the compounding procedure follows same way that was previously carried out by Roman et al. (2010) and Cancho et al. (2011) in introducing the complementary exponential-geometric (CEG) and the two-parameter Poisson-exponential (PE) lifetime distributions, respectively. This distribution contains several lifetime models such as: exponentiated weibull-geometric (EWG), exponentiated weibull-binomial (EWB), exponentiated weibull-poisson (EWP), exponentiated weibull-logarithmic (EWL) distributions as a special case. The hazard rate function of the EWPS distribution can be increasing, decreasing, bathtub-shaped and unimodal failure rate among others. We obtain several properties of the EWPS distribution such as its probability density function, its reliability and failure rate functions, quantiles and moments. The maximum likelihood estimation procedure via a EM-algorithm is presented in this paper. Sub-models of the EWPS distribution are studied in details. In the end, Applications to two real data sets are given to show the flexibility and potentiality of the EWPS distribution.

연구 동기 및 목표

• 거듭제곱 Weibull 분포와 거듭제곱 시리즈 분포를 복합화하여 새로운 수명 분포의 가족을 개발한다.
• 기존의 복합 모델들(예: WPS, EPS)을 확장하여, 거듭제곱 Weibull 분포가 다양한 고장률 형태를 모델링할 수 있는 능력을 통합한다.
• 하위 모델들인 EWG, EWP, EWB, EWL을 특수한 경우로 포함하는 통합 프레임워크를 제공한다.
• 잠재변수의 복합화 구조를 고려한 EM 알고리즘을 통한 최대우도 추정을 통해 강력한 통계적 추론을 가능하게 한다.
• 실제 수명 데이터 응용을 통해 신뢰성 분석 및 생존 분석 분야에서 모델의 실용적 유용성을 입증한다.

제안 방법

• EWPS 분포는 복합화를 통해 구성되며, 수명 Y는 N개의 i.i.d. 거듭제곱 Weibull 랜덤 변수들의 최소값으로 정의되며, 여기서 N은 거듭제곱 시리즈 분포를 따른다.
• EWPS의 확률밀도함수(PDF)는 거듭제곱 시리즈 분포에 대한 혼합형태로 유도되며, 거듭제곱 Weibull 밀도함수와 거듭제곱 시리즈의 확률생성함수를 통합하여 유도된다.
• 누적분포함수로부터 생존함수와 위험함수를 유도하여, 배수형 및 단일극대형 형태를 포함한 고장 시간 행동 분석이 가능해진다.
• 모멘트와 분위수는 감마함수와 이항계수를 포함하는 급수 전개를 통해 구해지며, 정수 α에 대해서는 닫힌 형태의 표현식을 가진다.
• 잠재변수의 복합화 과정에서 발생하는 구조를 고려하여, 매개변수 추정을 위한 EM 알고리즘을 사용한다.
• 관측된 피셔 정보행렬은 추론을 위해 명시적으로 계산되었으며, α, β, γ, θ에 대한 로그우도의 이阶도함수로부터 유도되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 EWPS 가족은 표준 Weibull 모델을 초월하여 배수형 및 단일극대형 패턴을 포함한 다양한 고장률 행동을 효과적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 기존 모델들인 EW, WPS, GE와 비교할 때, 실제 수명 데이터 세트에 대한 EWPS 분포의 적합도는 어떠한가?
• RQ3 다양한 데이터 시나리오 하에서 EWPS 모델의 매개변수 추정에 대한 EM 알고리즘의 통계적 성능은 어떠한가?
• RQ4 하위 모델들(e.g., EWG, EWP, EWL)은 부모인 EW와 거듭제곱 시리즈 분포의 성질을 어떻게 계승하고 확장하는가?
• RQ5 거듭제곱 시리즈 매개변수 θ는 EWPS 분포의 꼬리 행동과 전체적인 유연성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유연한 거듭제곱 Weibull 기반 분포 덕분에 EWPS 분포는 증가하는, 감소하는, 배수형, 단일극대형 고장률 형태를 모두 지원한다.
• 선택된 거듭제곱 시리즈 분포에 따라 여러 잘 알려진 분포들이 특수한 경우로 포함된다: EWG, EWB, EWP, EWL.
• EM 알고리즘은 매개변수 추정에 대해 신뢰성 있게 수렴하며, 관측된 피셔 정보행렬이 표준 오차와 신뢰구간 계산을 위해 명시적으로 유도되었다.
• 두 개의 실제 데이터 응용에서 EWPS 모델은 AIC 및 BIC 값이 낮아 경쟁 모델들(EW, WPS, GE)보다 더 나은 적합도를 보였다.
• 정수 α에 대해, EW 분포의 k번째 모멘트는 감마함수와 유한한 이항계수의 합을 포함하는 닫힌 형태의 표현식을 가진다.
• EWPS의 위험함수는 복잡한 행동을 띌 수 있으며, 비단조화적인 고장률을 나타내어 시간이 지남에 따라 위험이 변화하는 시스템의 모델링에 적합하다.