[논문 리뷰] Exposing and exploiting structure: optimal code generation for high-order finite element methods

Miklós Homolya, Robert C. Kirby외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 4인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 고차원 유한요소의 구조적 성질을 노출하는 더 스마트한 유한요소 라이브러리인 FInAT을 소개한다. 이를 통해 Firedrake의 Two-Stage Form Compiler(TSFC)는 합성 인자 분해 및 기타 최적화를 자동으로 적용할 수 있게 되었으며, 결과적으로 연속, 비연속, H(div), H(curl) 요소에 대해 사다리꼴 요소에서 최적의 알고리즘 복잡도를 달성하고, 거의 이상적인 성능을 구현한다.

ABSTRACT

Code generation based software platforms, such as Firedrake, have become popular tools for developing complicated finite element discretisations of partial differential equations. We extended the code generation infrastructure in Firedrake with optimisations that can exploit the structure inherent to some finite elements. This includes sum factorisation on cuboid cells for continuous, discontinuous, H(div) and H(curl) conforming elements. Our experiments confirm optimal algorithmic complexity for high-order finite element assembly. This is achieved through several novel contributions: the introduction of a more powerful interface between the form compiler and the library providing the finite elements; a more abstract, smarter library of finite elements called FInAT that explicitly communicates the structure of elements; and form compiler algorithms to automatically exploit this exposed structure.

연구 동기 및 목표

• 고차원에서의 수동 최적화된 스펙트럼 요소 코드와 자동으로 생성된 유한요소 코드 간의 성능 격차를 해소한다.
• FIAT가 고차원 요소의 구조적 성질을 노출할 수 없어 고도의 최적화가 불가능한 한계를 극복한다.
• 유한요소 내의 수학적 구조(예: 텐서 곱 구조, 합성 인자 분해 등)를 코드 생성 파이프라인 내에서 자동으로 활용할 수 있도록 한다.
• 자동화된 형식 컴파일러 기반 최적화를 통해 고차원 유한요소 어셈블리의 최적 알고리즘 복잡도를 달성한다.
• 비용이 많이 드는 행렬 어셈블리 없이도 고차원 유한요소법에서 효율적인 매트릭스 프리 연산을 가능하게 한다.

제안 방법

• 유한요소의 구조적 성질(예: 텐서 곱 구조 등)을 새로운 더 rich한 인터페이스를 통해 명시적으로 노출하는 FInAT라는 새로운 유한요소 라이브러리를 설계 및 구현한다.
• TSFC 형식 컴파일러를 확장하여 FInAT 요소로부터 구조 정보를 탐지하고 활용할 수 있도록 하여, 육면체 요소에서 합성 인자 분해를 자동 적용할 수 있도록 한다.
• 고차원 요소를 위한 구조 인식 루프 변환 및 코드 생성을 수행하는 새로운 컴파일 모드인 '스펙트럼 모드'를 TSFC에 도입한다.
• 일치하는 체적 요소에서의 통합 인식 평가를 통해 계산 비용을 감소시키면서도 정확도를 유지한다.
• UFL 약한 형식에서 고도로 최적화된 C 커널을 생성하는 새로운 코드 생성 파이프라인을 개발 및 통합하며, FInAT에서 얻은 구조적 통찰을 활용한다.
• 새로운 파이프라인의 성능을 FIAT 기반 컴파일링 및 수동 최적화된 스펙트럼 코드와 비교하여 최적성 여부를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 유한요소의 구조적 성질을 형식 컴파일러가 자동 최적화를 가능하게 할 수 있도록 노출시킬 수 있는가?
• RQ2 고차원 FEM을 위한 코드 생성 프레임워크에서 합성 인자 분해 및 기타 최적화를 얼마나 자동으로 적용할 수 있는가?
• RQ3 새로운 라이브러리 인터페이스(FInAT)를 통해 요소의 구조를 노출함으로써 유한요소 어셈블리에서 최적 알고리즘 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 새로운 코드 생성 파이프라인의 성능은 고차원 다항식 차수에서 수동 최적화된 스펙트럼 요소 코드와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 비용이 많이 드는 행렬 어셈블리 없이도 고차원 FEM에서 매트릭스 프리 연산이 최적 성능을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 FInAT 라이브러리는 요소의 구조적 성질(예: 텐서 곱 구조 등)을 성공적으로 노출하여, 이전에는 수작업으로 작성된 코드에서만 가능했던 고도의 최적화를 가능하게 하였다.
• TSFC의 '스펙트럼 모드'는 육면체 요소에서 고차원 유한요소 어셈블리에 대해 최적 알고리즘 복잡도를 달성하며, 성능 면에서 수동 최적화된 스펙트럼 코드를 뛰어넘거나 동일하게 유지한다.
• 새로운 파이프라인에서의 매트릭스 프리 연산은 다항식 차수에 따라 효율적으로 스케일링되며, 차수 8~10까지는 자유도당 비용이 거의 일정하게 유지된다.
• FIAT를 사용할 경우 고차원 요소에서 100MB 이상의 커널이 생성되어 컴파일이 불가능해지지만, FInAT 기반 컴파일링은 여전히 효율적이다.
• 형식 컴파일 시간 오버헤드는 매우 작으며, 복잡한 초탄성 모델의 경우 6초 미만이므로 실세계 응용에 실용적이다.
• TSFC의 스펙트럼 모드는 일반 모드 및 커피 모드를 모두 능가하며, 낮은 다항식 차수에서도 포함하여 모든 경우에 기본 설정으로 추천된다.