[논문 리뷰] Exposing boundary points of strongly pseudoconvex subvarieties in complex spaces

Fusheng Deng, John Erik Fornæss외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 10.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소공간 내 강한 피조볼레프 하위다양체의 경계점이 주어진 실초곡면으로부터 전역적으로 노출될 수 있음을 증명한다. 이는 점의 주변이외에서는 항등사상에 대해 임의로 가까운 복소다양체 위상변환이 존재함을 의미한다. 주요 기여는 $\mathbb{C}^n$ 내 유계 강한 피조볼레프 도메인에 대한 매개변수 노출 정리로, 임의의 경계점이 $C^1$-작은 해석적 자기동형사상에 의해 엄격히 볼록한 경계점으로 매핑될 수 있음을 보여주며, 복소해석학에서의 전역 기하학과 볼록성에 응용된다.

ABSTRACT

We prove that all locally exposable points in a Stein compact in a complex space can be exposed along a given curve to a given real hypersurface. Moreover, the exposing map for a boundary point can be sufficiently close to the identity map outside any fixed neighborhood of the point. We also prove a parametric version of this result for bounded strongly pseudoconvex domains in $\mathbb C^n$. For a bounded strongly pseudoconvex domain in $\mathbb C^n$ and a given boundary point of it, we prove that there is a global coordinate change on the closure of the domain which is arbitrarily close to the identity map with respect to the $C^1$-norm and maps the boundary point to a strongly convex boundary point.

연구 동기 및 목표

• 스테인 컴acts 내 국소적으로 노출 가능한 경계점이 주어진 실초곡면으로부터 점의 주변이외에서는 항등사상에 대해 임의로 가까운 복소다양체 위상변환에 의해 전역적으로 노출될 수 있음을 증명하는 것.
• 유계 강한 피조볼레프 도메인에 대한 노출 사상 구성의 매개변수 형태를 확립하는 것.
• 유계 강한 피조볼레프 도메인의 임의의 경계점이 $C^1$-작은 해석적 자기동형사상에 의해 엄격히 볼록한 경계점으로 매핑될 수 있음을 보여주는 것.
• 노출 사상 구성법을 1-볼록 공간 및 조밀성 성질을 가진 스테인 다양체를 포함한 더 일반적인 복소공간으로 확장하는 것.

제안 방법

• 국소 노출 사상을 전역 해석적 자기동형사상으로 근사하기 위해 Andersön-Lempert 이론을 활용하는 것.
• 도메인을 변형하면서도 경계점의 노출 성질을 유지하는 해석적 사상의 피복을 유지하는 위상수열을 구성하는 것.
• 노출 사상이 점의 주변이외에서는 항상 항등사상에 대해 균일하게 가까운지 보장하기 위해 $C^1$-근사 기법을 적용하는 것.
• 노출된 점을 제외한 영역에서 도메인의 구조를 유지하는 전역 위상수열을 정의하기 위해 컴acts 지지된 벡터장 사용.
• 절단 함수를 통한 반경 방향 확장을 활용하여 도메인을 $\mathbb{C}^n$ 내 큰 구면으로 매핑함으로써 이미지 점이 구면 위에 있도록 보장하는 것.
• $h$-cobordism 정리와 미분위상수학을 활용하여 $n=2$ 또는 $n>2$일 때 강한 피조볼레프 도메인의 폐포가 단위구와 미분위상동형임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소공간 내 스테인 컴 pact의 국소적으로 노출 가능한 모든 경계점이, 점의 주변이외에서는 항등사상에 대해 임의로 가까운 복소다양체 위상변환에 의해 주어진 실초곡면으로 전역적으로 노출될 수 있는가?
• RQ2 유계 강한 피조볼레프 도메인에 대해 $C^1$-작은 해석적 자기동형사상으로 구성된 전역적 사상이 존재하여 주어진 경계점을 엄격히 볼록한 경계점으로 매핑할 수 있는가?
• RQ3 노출 조건과 항등사상에 대한 $C^1$-근사성을 유지하면서, 경계점에 따라 매개변수화된 연속적인 사상의 가닥으로 노출 사상을 확장할 수 있는가?
• RQ4 노출 사상을 복소다양체 $\mathbb{C}^n$의 해석적 자기동형사상으로 선택할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ5 경계점의 전역 노출이 도메인의 기하학이 엄격히 볼록한 도메인의 기하학과 구체적인 기하학적 의미에서 동치가 되게 하는가?

주요 결과

• 스테인 컴 pact $K\subset X$ 내 국소적으로 노출 가능한 점 $\zeta$에 대해, 주어진 실초곡면 $H$에 대해 $f(\zeta)$가 노출되며, 임의의 $\zeta$의 주변 $V'$에 대해 $K\setminus V'$에서 항등사상에 $\epsilon$-근접하는 복소다양체 위상변환 $f$가 존재한다.
• $\mathbb{C}^n$에서 $K$가 다항식 볼록이라면, 노출 사상 $f$는 $\mathbb{C}^n$의 해석적 자기동형사상으로 취할 수 있다.
• 유계 강한 피조볼레프 도메인 $D\subset\mathbb{C}^n$에 대해, $C^1$-작은 해석적 자기동형사상 $F$가 존재하여 $F(\zeta)$가 $F(D)$의 엄격히 볼록한 경계점이 되며, $\|F - \mathrm{id}\|_{C^1(\overline{D})} < \epsilon$를 만족한다.
• 경계에서 큰 구면 $S_R$으로 향하는 피복을 유지하는 곡선의 가닥 $\gamma_\zeta$에 대해 매개변수 노출 정리는 균일한 $C^1$-근사성을 보장한다.
• $\overline{D}$가 다항식 볼록이라면, 매개변수 설정에서의 노출 사상은 $\mathbb{C}^n$의 해석적 자기동형사상으로 선택할 수 있다.
• $n=2$ 또는 $n>2$일 때, 경계가 매끄러운 유계 강한 피조볼레프 도메인의 폐포는 닫힌 단위구와 미분위상동형이며, 이는 엄격히 볼록한 도메인과 위상적으로 동치임을 의미한다.