[논문 리뷰] Expressing an observer in preferred coordinates by transforming an injective immersion into a surjective diffeomorphism

Pauline Bernard, Vincent Andrieu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 16.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 13인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 관측기 동역학을 원래 시스템과 동일한 좌표계로 표현하기 위해, 좌표 증강과 함수 확장을 통해 단사 임bedding를 전사 미분능으로 변환하는 방법을 제안한다. 주요 기여는 암시적 방정식을 풀지 않고도 직접적인 관측기 구현이 가능한 명시적 미분능을 구성하는 구조적 접근법을 제공하는 것이다. 수렴 성질은 유지된다.

ABSTRACT

When designing observers for nonlinear systems, the dynamics of the given system and of the designed observer are usually not expressed in the same coordinates or even have states evolving in different spaces. In general, the function, denoted $\ au$ (or its inverse, denoted $\ au^*$) giving one state in terms of the other is not explicitly known and this creates implementation issues. We propose to round this problem by expressing the observer dynamics in the the same coordinates as the given system. But this may impose to add extra coordinates, problem that we call augmentation. This may also impose to modify the domain or the range of the augmented" $\ au$ or $\ au^*$, problem that we call extension. We show that the augmentation problem can be solved partly by a continuous completion of a free family of vectors and that the extension problem can be solved by a function extension making the image of the extended function the whole space. We also show how augmentation and extension can be done without modifying the observer dynamics and therefore with maintaining convergence.Several examples illustrate our results.

연구 동기 및 목표

• 시스템 동역학과 다른 좌표계에서의 관측기 상태 추정 문제를 해결하기 위해.
• 상태 재구성에 있어 암시적이고 비용이 많이 드는 최적화 기반 매핑(예: 최소화 또는 포화)에 의존하지 않도록 하기 위해.
• 관측기 동역학을 시스템의 선호하는 좌표계에 직접적으로 명시적 미분능을 통해 표현할 수 있도록 하기 위해.
• 좌표 변환 중 관측기의 수렴 성질을 유지하기 위해.

제안 방법

• 자유 벡터 가중치의 연속적 완성 기반으로 관측기 상태 공간을 증강하는 기법을 도입하여 상태 공간을 확장한다.
• 미분능의 변형을 통해 함수 확장을 적용하여 역매핑의 정의역을 전체 상태 공간으로 확장한다.
• 관측기 상태 공간에서 시스템 상태 공간으로 전사적으로 사상하는 전역적인 미분능 τₑ를 구성한다.
• 브라우어의 불변성 정리와 스무스 확장 정리(예: [15]에서 제시된 바와 같이)를 적용하여 확장된 매핑의 스무스성 및 미분능 성질을 보장한다.
• 확장된 미분능 τₑ가 관심이 있는 컴팩트 집합에서 원래 매핑 τ와 일치하도록 보장하여 관측기 수렴성을 유지한다.
• 스무스 리아푸노프 함수와 컴팩트 흡인집합의 존재를 활용하여 레벨 세트 분석을 통해 필요한 미분능을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측기 상태 공간에서 시스템 상태 공간으로의 단사 임bedding를 관측기 동역학이나 수렴 성질을 변경하지 않고 전사 미분능으로 변환할 수 있는가?
• RQ2 역매핑 τ*를 스무스성과 미분능 성질을 유지하면서 전역적으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 관측기 동역학을 시스템의 선호하는 좌표계에 직접적으로 표현할 수 있도록 명시적으로 미분능 τₑ를 구성할 수 있는 조건는 무엇인가?
• RQ4 관측기 수렴성을 유지하면서 좌표 증강과 함수 확장을 수행할 수 있는가?
• RQ5 컴팩트 흡인집합과 스무스 리아푸노프 함수는 국소적인 미분능의 전역 확장을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 원래의 단사 임bedding τ*를 R^m에서 R^m으로 전사적인 C²-미분능 τₑ로 확장할 수 있으며, 이는 전체 상태 재구성을 보장한다.
• 확장은 원래 매핑이 컴팩트 집합 K에서 일치하는 미분능의 변형 Fₑ를 통해 달성되며, 관측기 수렴성이 유지된다.
• 이 방법은 암시적 방정식을 풀거나 최적화에 의존하지 않고도 관측기 동역학을 시스템의 선호하는 좌표계에 직접적으로 표현할 수 있도록 한다.
• 구성 과정은 원래 관측기 동역학을 유지하므로, 새로운 좌표 표현에서도 수렴성이 보존된다.
• 이 방법은 고이득 관측기 및 비선형 루엔버거 관측기 모두에 적용 가능하며, 알려지지 않은 주파수를 가진 조화 진동자와 같은 시스템에서의 실현 가능성을 보여준다.
• 스무스 리아푸노프 함수와 위상수학 도구(예: 브라우어의 불변성 정리 및 C²-미분능의 확장)를 사용하여 이론적 보장을 제공한다.