[논문 리뷰] Extendability of continuous maps is undecidable

Martin Čadek, Marek Krčál외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 10.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 20인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한 단순 복합체 간의 연속 함수의 연장 문제는 도메인 차원이 2k일 때조차도 (k−1)-연결된 대상 공간인 경우에도 결정 불가능하다는 것을 입증한다. 기존에 알려진 해결 가능한 임계점 dim X ≤ 2k−1를 초월하여 문제의 결정 불가능성이 발생하며, 더 나아가 대상 공간이나 쌍 (X, A)를 고정하더라도 이 결정 불가능성이 유지된다는 것을 보여준다. 이 결과는 계산적 위상수학에서의 복잡도 경계를 강화한다.

ABSTRACT

We consider two basic problems of algebraic topology, the extension problem and the computation of higher homotopy groups, from the point of view of computability and computational complexity. The extension problem is the following: Given topological spaces X and Y, a subspace A\subseteq X, and a (continuous) map f:A->Y, decide whether f can be extended to a continuous map \bar{f}:X->Y. All spaces are given as finite simplicial complexes and the map f is simplicial. Recent positive algorithmic results, proved in a series of companion papers, show that for (k-1)-connected Y, k>=2, the extension problem is algorithmically solvable if the dimension of X is at most 2k-1, and even in polynomial time when k is fixed. Here we show that the condition \dim X<=2k-1 cannot be relaxed: for \dim X=2k, the extension problem with (k-1)-connected Y becomes undecidable. Moreover, either the target space Y or the pair (X,A) can be fixed in such a way that the problem remains undecidable. Our second result, a strengthening of a result of Anick, says that the computation of π_k(Y) of a 1-connected simplicial complex Y is #P-hard when k is considered as a part of the input.

연구 동기 및 목표

• 유한 단순 복합체 간의 연속 함수의 연장 문제에 대한 계산 복잡도 경계를 규명하는 것.
• 기존에 알려진 dim X ≤ 2k−1 기준을 초월하여 (k−1)-연결된 Y에 대해 연장 문제가 여전히 결정 가능한지 조사하는 것.
• 대상 공간이나 쌍 (X, A)를 고정하더라도 결정 불가능성이 발생함을 입증하는 것.
• 고차 호모토피 군 πk(Y)를 계산하는 복잡도 경계를 강화하여, k가 입력에 포함될 경우 #P-난이도임을 보여주는 것.

제안 방법

• 위상수학과 단순 복합체의 구성 기법을 활용하여 군 이론의 단어 문제에서 연장 문제로의 환원.
• 칸 복합체와 홀로우 메우기 절차를 사용하여 호모토피 유형을 모델링하고 임의의 단순 복합체에서 ∞-동치를 구성하는 것.
• 상대 투레비치 정리와 호모로지 정확수열을 적용하여 유한 근사에서 호모토피 군을 제어하는 것.
• 주어진 (k−1)-연결 칸 복합체 Z에 대해 유한성과 연결성을 유지하면서 n-동치인 유한 단순 복합체 Z′을 구성하는 것.
• 단순 복합체에서 홀로우를 반복적으로 메워 K∞(Y)를 구축하는 것으로, 이는 원래 Y에 대해 ∞-동치인 칸 복합체가 된다.
• K∞(Y)를 최소 칸 복합체로의 변형 수축하여 유한성과 호모토피 유형을 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 dim X = 2k이고 (k−1)-연결된 Y일 때 연장 문제가 결정 가능한가?
• RQ2 대상 공간 Y 또는 쌍 (X, A)를 고정할 경우 연장 문제의 결정 불가능성이 유지되는가?
• RQ3 k가 입력에 포함될 때 πk(Y)를 계산하는 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 기존에 알려진 dim X ≤ 2k−1 범위에서의 연장 문제의 알고리즘적 해결 가능성은 더 높은 차원으로 확장되는가?
• RQ5 유한 단순 복합체는 고차 호모토피 유형을 근사하면서도 차원 n까지의 호모토피 군을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• dim X = 2k일 때조차도 (k−1)-연결된 Y를 갖는 연장 문제가 결정 불가능하며, 이는 dim X ≤ 2k−1라는 경계가 정확하다는 것을 보여준다.
• 대상 공간 Y를 (k−1)-연결된 유한 단순 복합체로 고정하더라도 결정 불가능성이 유지된다.
• X의 차원이 2k이고 A가 부분복합체인 쌍 (X, A)를 고정하더라도 연장 문제가 여전히 결정 불가능하다.
• k가 입력에 포함될 경우 1-연결된 단순 복합체 Y에 대해 πk(Y)를 계산하는 것은 #P-난이도이며, 애닉의 결과를 강화한다.
• (k−1)-연결된 칸 복합체 Z에 대해 차원 n까지 유한 생성된 호모로지를 갖는 경우, 유한한 (k−1)-감소 단순 복합체 Z′과 n-동치 ψ: Z′ → Z가 존재한다.
• 반복적인 홀로우 메우기로 K∞(Y)를 구성하면 Y에 대해 ∞-동치인 칸 복합체가 되며, 이 복합체는 호모토피 유형을 유지하면서 최소 칸 복합체로의 변형 수축이 가능하다.